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Le théorème de Gauss : la symétrie qui fait tout le travail

≈ 30 minutes · Prérequis : Le potentiel électrostatique : la carte d'altitude du champ

Le gain du jour : l’outil le plus puissant de l’électrostatique — calculer $\vec{E}$ sans aucune intégrale de Coulomb, à condition de savoir lire les symétries d’une distribution.

Pourquoi cette notion ?

Les intégrales de la leçon 4 deviennent vite monstrueuses. Le théorème de Gauss les court-circuite : quand la distribution de charges est assez symétrique, il donne $\vec{E}$ en trois lignes. C’est aussi, sous sa forme locale, l’une des quatre équations de Maxwell — tu es en train d’apprendre un morceau des lois fondamentales de l’Univers.

Le flux : compter ce qui traverse

Le flux de $\vec{E}$ à travers une surface mesure « combien de champ » la traverse — pense au débit d’eau à travers un filet :

\Phi = \iint_{(S)} \vec{E}\cdot d\vec{S}

Le vecteur $d\vec{S}$ est normal à la surface ; pour une surface fermée, on l’oriente vers l’extérieur.

Le théorème

Le flux du champ électrostatique à travers n’importe quelle surface fermée $(S)$ est égal à la charge totale enfermée dedans, divisée par $\varepsilon_0$ :

\boxed{\ \oiint_{(S)} \vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}\ } \qquad\text{avec}\quad Q_{\text{int}} = \iiint_{(\tau)} \rho\; d\tau

Deux remarques fortes :

les charges extérieures à $(S)$ ne comptent pas : leur champ entre d’un côté et ressort de l’autre, flux net nul ;
la forme exacte de $(S)$ n’a aucune importance — d’où la liberté de la choisir maligne.

La forme locale

En appliquant le théorème de Gauss–Ostrogradski (le flux d’un champ à travers une surface fermée égale l’intégrale de sa divergence sur le volume intérieur), valable pour tout volume, on obtient l’équation de Maxwell–Gauss :

\vec{\nabla}\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

Relis-la avec la leçon 3 : les charges sont les sources du champ électrique — les « robinets » (ρ > 0) et les « siphons » (ρ < 0).

Tout l’art du théorème : choisir une surface où le flux se calcule de tête.

Symétries et invariances : lire la forme du champ

Le principe de superposition impose au champ de respecter les symétries de la source. Avant tout calcul, on détermine :

Les invariances (réduisent les variables) : si la distribution est inchangée par translation le long de $z$ ou rotation d’angle $\theta$ , alors $\lVert\vec E\rVert$ ne dépend pas de $z$ ni de $\theta$ .

Les symétries (réduisent les composantes) :

plan de symétrie $\Pi$ (la distribution est son propre miroir) : en tout point de $\Pi$ , $\vec{E}$ est contenu dans $\Pi$ ;
plan d’antisymétrie (miroir + inversion du signe des charges) : en tout point du plan, $\vec{E}$ lui est perpendiculaire ;
symétrie axiale : sur l’axe, $\vec E$ est porté par l’axe ; symétrie sphérique : $\vec{E}$ est radial.

La méthode Gauss en 4 étapes

Symétries + invariances → forme du champ, ex. $\vec{E} = E(r)\,\vec{e}_r$ ;
Choisir la surface de Gauss épousant cette forme (sphère, cylindre, boîte) pour que $\vec{E}\cdot d\vec{S}$ soit soit nul, soit égal à $E\,dS$ avec $E$ constant dessus ;
Calculer le flux : il sort en $E \times (\text{aire})$ ;
Compter $Q_{\text{int}}$ et conclure.

Les trois résultats classiques

Distribution	Champ obtenu	Décroissance
Charge ponctuelle $q$ / sphère chargée	$E = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$	en $1/r^2$
Fil infini, densité $\lambda$	$E = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\, \rho}$	en $1/\rho$
Plan infini, densité $\sigma$	$E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$	uniforme !

Remarque le motif : plus la source est « étalée » (point → fil → plan), plus le champ décroît lentement. Retrouver ces trois résultats à la main est l’exercice canonique de ce chapitre.

Traverser une surface chargée : discontinuité

À la traversée d’une surface portant $\sigma$ , la composante normale de $\vec{E}$ saute de $\sigma/\varepsilon_0$ , la composante tangentielle reste continue :

\vec{E}_1 - \vec{E}_2 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\,\vec{n}

Cas limite utile : au voisinage d’un conducteur parfait (champ nul à l’intérieur), le champ extérieur est perpendiculaire à la surface et vaut $\sigma/\varepsilon_0$ .

Vérifie ta compréhension

Une charge q est placée À L'EXTÉRIEUR d'une surface fermée S. Le flux de E à travers S vaut…

Pour un fil infini uniformément chargé, la bonne surface de Gauss est…

Le champ créé par un plan infini uniformément chargé…

En tout point d'un plan de symétrie de la distribution de charges, le champ E est…

À retenir : $\oiint \vec{E}\cdot d\vec{S} = Q_{\text{int}}/\varepsilon_0$ , forme locale $\vec{\nabla}\cdot\vec{E} = \rho/\varepsilon_0$ . Méthode : symétries → forme de $\vec E$ → surface adaptée → flux trivial. Point $1/r^2$ , fil $1/\rho$ , plan uniforme.

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