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Formulaire — opérateurs et résultats clés

Antisèche du cours : tout ce qu’il faut savoir retrouver en moins de dix secondes.

Constantes et notations

SymboleNomValeur / unité
ε0\varepsilon_0permittivité du vide8,85×10−128{,}85\times10^{-12} F/m
14πε0\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}constante de Coulomb9×1099\times10^{9} N·m²/C²
λ, σ, ρ\lambda,\ \sigma,\ \rhodensités de chargeC/m, C/m², C/m³
E⃗\vec{E}champ électriqueV/m
VVpotentielV
p⃗\vec{p}moment dipolaireC·m
P⃗\vec{P}vecteur polarisationC/m²
D⃗\vec{D}vecteur déplacementC/m²

Opérateurs en coordonnées cartésiennes

∇⃗f=(∂xf∂yf∂zf)∇⃗⋅A⃗=∂xAx+∂yAy+∂zAz\vec{\nabla}f = \begin{pmatrix} \partial_x f \\ \partial_y f \\ \partial_z f \end{pmatrix} \qquad \vec{\nabla}\cdot\vec{A} = \partial_x A_x + \partial_y A_y + \partial_z A_z ∇⃗∧A⃗=(∂yAz−∂zAy∂zAx−∂xAz∂xAy−∂yAx)Δf=∂x2f+∂y2f+∂z2f\vec{\nabla}\wedge\vec{A} = \begin{pmatrix} \partial_y A_z - \partial_z A_y \\ \partial_z A_x - \partial_x A_z \\ \partial_x A_y - \partial_y A_x \end{pmatrix} \qquad \Delta f = \partial_x^2 f + \partial_y^2 f + \partial_z^2 f

Gradient et laplacien en cylindriques et sphériques

Cylindriques (ρ,θ,z)(\rho, \theta, z) — déplacement dl⃗=dρ e⃗ρ+ρ dθ e⃗θ+dz e⃗zd\vec{l} = d\rho\,\vec{e}_\rho + \rho\,d\theta\,\vec{e}_\theta + dz\,\vec{e}_z :

∇⃗f=∂f∂ρe⃗ρ+1ρ∂f∂θe⃗θ+∂f∂ze⃗z\vec{\nabla}f = \frac{\partial f}{\partial \rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec{e}_\theta + \frac{\partial f}{\partial z}\vec{e}_z Δf=1ρ∂∂ρ ⁣(ρ∂f∂ρ)+1ρ2∂2f∂θ2+∂2f∂z2\Delta f = \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\!\left(\rho \frac{\partial f}{\partial \rho}\right) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}

Sphériques (r,θ,φ)(r, \theta, \varphi) — déplacement dl⃗=dr e⃗r+r dθ e⃗θ+rsin⁡θ dφ e⃗φd\vec{l} = dr\,\vec{e}_r + r\,d\theta\,\vec{e}_\theta + r\sin\theta\,d\varphi\,\vec{e}_\varphi :

∇⃗f=∂f∂re⃗r+1r∂f∂θe⃗θ+1rsin⁡θ∂f∂φe⃗φ\vec{\nabla}f = \frac{\partial f}{\partial r}\vec{e}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec{e}_\theta + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \varphi}\vec{e}_\varphi Δf=1r2∂∂r ⁣(r2∂f∂r)+1r2sin⁡θ∂∂θ ⁣(sin⁡θ ∂f∂θ)+1r2sin⁡2θ∂2f∂φ2\Delta f = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^2 \frac{\partial f}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\!\left(\sin\theta\,\frac{\partial f}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}

Formules générales (coordonnées orthogonales, facteurs métriques h1,h2,h3h_1, h_2, h_3) :

hi2=(∂x∂qi)2+(∂y∂qi)2+(∂z∂qi)2h_i^2 = \left(\frac{\partial x}{\partial q_i}\right)^2 + \left(\frac{\partial y}{\partial q_i}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial q_i}\right)^2 ∇⃗f=∑i1hi∂f∂qie⃗i∇⃗⋅A⃗=1h1h2h3[∂(A1h2h3)∂q1+∂(A2h3h1)∂q2+∂(A3h1h2)∂q3]\vec{\nabla}f = \sum_i \frac{1}{h_i}\frac{\partial f}{\partial q_i}\vec{e}_i \qquad \vec{\nabla}\cdot\vec{A} = \frac{1}{h_1 h_2 h_3}\left[\frac{\partial (A_1 h_2 h_3)}{\partial q_1} + \frac{\partial (A_2 h_3 h_1)}{\partial q_2} + \frac{\partial (A_3 h_1 h_2)}{\partial q_3}\right]

Cartésien : hi=(1,1,1)h_i = (1,1,1) ; cylindrique : (1,ρ,1)(1, \rho, 1) ; sphérique : (1,r,rsin⁡θ)(1, r, r\sin\theta).

Identités vectorielles

rot→ (grad→ f)=0⃗div (rot→ A⃗)=0ΔA⃗=grad→ (div A⃗)−rot→ (rot→ A⃗)\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,(\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,f) = \vec{0} \qquad \mathrm{div}\,(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{A}) = 0 \qquad \Delta\vec{A} = \overrightarrow{\mathrm{grad}}\,(\mathrm{div}\,\vec{A}) - \overrightarrow{\mathrm{rot}}\,(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{A})

Règles de Leibniz :

∇⃗(fg)=f∇⃗g+g∇⃗fdiv(fA⃗)=∇⃗f⋅A⃗+f div A⃗\vec{\nabla}(fg) = f\vec{\nabla}g + g\vec{\nabla}f \qquad \mathrm{div}(f\vec{A}) = \vec{\nabla}f\cdot\vec{A} + f\,\mathrm{div}\,\vec{A} rot→(fA⃗)=∇⃗f∧A⃗+f rot→ A⃗div(A⃗∧B⃗)=B⃗⋅rot→ A⃗−A⃗⋅rot→ B⃗\overrightarrow{\mathrm{rot}}(f\vec{A}) = \vec{\nabla}f \wedge \vec{A} + f\,\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{A} \qquad \mathrm{div}(\vec{A}\wedge\vec{B}) = \vec{B}\cdot\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{A} - \vec{A}\cdot\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{B}

Théorèmes intégraux :

∯(S)A⃗⋅dS⃗=∭(τ)(∇⃗⋅A⃗) dτ  (Gauss–Ostrogradski)∮(C)A⃗⋅dl⃗=∬(S)(∇⃗∧A⃗)⋅dS⃗  (Stokes)\oiint_{(S)} \vec{A}\cdot d\vec{S} = \iiint_{(\tau)} (\vec{\nabla}\cdot\vec{A})\, d\tau \ \ \text{(Gauss–Ostrogradski)} \qquad \oint_{(C)} \vec{A}\cdot d\vec{l} = \iint_{(S)} (\vec{\nabla}\wedge\vec{A})\cdot d\vec{S} \ \ \text{(Stokes)}

Électrostatique : l’essentiel

LoiExpression
CoulombF⃗=q1q24πε0r2u⃗\vec{F} = \dfrac{q_1 q_2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}
Champ d’une charge ponctuelleE⃗=q4πε0r2e⃗r\vec{E} = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{e}_r
Potentiel d’une charge ponctuelleV=q4πε0rV = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}
Champ ↔ potentielE⃗=−∇⃗V\vec{E} = -\vec{\nabla}V, dV=−E⃗⋅dl⃗\quad dV = -\vec{E}\cdot d\vec{l}
Circulation conservative∮E⃗⋅dl⃗=0\oint \vec{E}\cdot d\vec{l} = 0, ∇⃗∧E⃗=0⃗\quad \vec{\nabla}\wedge\vec{E} = \vec{0}
Gauss (intégral)∯E⃗⋅dS⃗=Qint/ε0\oiint \vec{E}\cdot d\vec{S} = Q_{\text{int}}/\varepsilon_0
Gauss (local)∇⃗⋅E⃗=ρ/ε0\vec{\nabla}\cdot\vec{E} = \rho/\varepsilon_0
PoissonΔV=−ρ/ε0\Delta V = -\rho/\varepsilon_0
Fil infiniE=λ2πε0ρE = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 \rho}
Plan infiniE=σ2ε0E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}
Discontinuité en surfaceE⃗1−E⃗2=σε0n⃗\vec{E}_1 - \vec{E}_2 = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}\vec{n} (normale) ; tangentielle continue

Symétries → forme du champ

Propriété de la distributionConséquence sur E⃗\vec{E}
Invariance par translation / rotation∥E⃗∥\lVert\vec{E}\rVert indépendant de la coordonnée
Plan de symétrie Π\PiE⃗∈Π\vec{E} \in \Pi pour tout point de Π\Pi
Plan d’antisymétrieE⃗⊥\vec{E} \perp au plan, sur le plan
Symétrie sphériqueE⃗=E(r) e⃗r\vec{E} = E(r)\,\vec{e}_r
Symétrie cylindriqueE⃗=E(ρ) e⃗ρ\vec{E} = E(\rho)\,\vec{e}_\rho

Magnétostatique (minimum vital) et régime variable

LoiExpression
Théorème d’Ampère∮(Γ)B⃗⋅dl⃗=μ0Ienlaceˊ\oint_{(\Gamma)} \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enlacé}}, ∇⃗∧B⃗=μ0J⃗\quad \vec{\nabla}\wedge\vec{B} = \mu_0\vec{J} (statique)
Fil infiniB=μ0I2πrB = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}
Flux de B⃗\vec B conservatif∇⃗⋅B⃗=0\vec{\nabla}\cdot\vec{B} = 0
Flux magnétiqueΦm=∬(S)B⃗⋅dS⃗\Phi_m = \iint_{(S)}\vec{B}\cdot d\vec{S} (Wb)
Faradayε=−dΦmdt\varepsilon = -\dfrac{d\Phi_m}{dt} (Lenz : l’induit s’oppose à sa cause)
Maxwell-Faraday∇⃗∧E⃗=−∂B⃗∂t\vec{\nabla}\wedge\vec{E} = -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}
Courant de déplacementJ⃗D=ε0∂E⃗∂t=∂D⃗∂t\vec{J}_D = \varepsilon_0\dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \dfrac{\partial \vec{D}}{\partial t}
Maxwell-Ampère∇⃗∧B⃗=μ0J⃗cond+μ0ε0∂E⃗∂t\vec{\nabla}\wedge\vec{B} = \mu_0\vec{J}_{\text{cond}} + \mu_0\varepsilon_0\dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}
Équation de continuité∂ρ∂t+∇⃗⋅J⃗=0\dfrac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{\nabla}\cdot\vec{J} = 0

μ0=4π×10−7\mu_0 = 4\pi\times10^{-7} T·m/A. En régime variable, ∮E⃗⋅dl⃗=−dΦm/dt≠0\oint\vec{E}\cdot d\vec{l} = -d\Phi_m/dt \neq 0 : le champ induit ne dérive pas d’un potentiel scalaire.

Équations de Maxwell et ondes

Les quatre équations (vide, avec sources) :

∇⃗⋅E⃗=ρε0∇⃗⋅B⃗=0∇⃗∧E⃗=−∂B⃗∂t∇⃗∧B⃗=μ0J⃗+μ0ε0∂E⃗∂t\vec{\nabla}\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \qquad \vec{\nabla}\cdot\vec{B} = 0 \qquad \vec{\nabla}\wedge\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \qquad \vec{\nabla}\wedge\vec{B} = \mu_0\vec{J} + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}
NotionExpression
Champ-potentielsE⃗=−∇⃗V−∂A⃗∂t\vec{E} = -\vec{\nabla}V - \dfrac{\partial\vec{A}}{\partial t}, B⃗=∇⃗∧A⃗\quad \vec{B} = \vec{\nabla}\wedge\vec{A}
Transformation de jaugeA⃗′=A⃗+∇⃗ψ\vec{A}' = \vec{A} + \vec{\nabla}\psi, V′=V−∂ψ∂t\quad V' = V - \dfrac{\partial\psi}{\partial t} (mêmes champs)
Jauge de Lorentz∇⃗⋅A⃗+μ0ε0∂V∂t=0\vec{\nabla}\cdot\vec{A} + \mu_0\varepsilon_0\dfrac{\partial V}{\partial t} = 0
Équation d’onde (vide)∇2E⃗−μ0ε0 ∂t2E⃗=0⃗\nabla^2\vec{E} - \mu_0\varepsilon_0\,\partial_t^2\vec{E} = \vec{0} (idem B⃗\vec B, VV, A⃗\vec A)
Vitesse de la lumièrec=1μ0ε0≈3×108c = \dfrac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \approx 3\times10^8 m/s
OPPME⃗=E⃗0cos⁡(ωt−k⃗⋅r⃗)\vec{E} = \vec{E}_0\cos(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r}) ; complexe : ∇⃗→−ik⃗\vec\nabla \to -i\vec k, ∂t→iω\partial_t \to i\omega
Dispersion (vide)k=ω/ck = \omega/c ; T=2π/ω\quad T = 2\pi/\omega, λ=cT=2π/k\lambda = cT = 2\pi/k
Structurek⃗⊥E⃗\vec{k}\perp\vec{E}, k⃗⊥B⃗\vec{k}\perp\vec{B}, B⃗=k⃗∧E⃗ω\vec{B} = \dfrac{\vec{k}\wedge\vec{E}}{\omega}, B=E/cB = E/c, (k⃗,E⃗,B⃗)(\vec k,\vec E,\vec B) direct
VitessesVϕ=ω/kV_\phi = \omega/k (phase), Vg=dω/dkV_g = d\omega/dk (groupe, énergie) ; égales si non dispersif
Polarisationdéphasage ϕ\phi entre Ex,EyE_x, E_y : 0/π0/\pi rectiligne, ±π/2\pm\pi/2 (amplitudes égales) circulaire, sinon elliptique
Densité d’énergieu=12(ε0E2+B2μ0)u = \frac{1}{2}\left(\varepsilon_0 E^2 + \dfrac{B^2}{\mu_0}\right) (J/m³)
Vecteur de PoyntingP⃗=E⃗∧B⃗μ0\vec{P} = \dfrac{\vec{E}\wedge\vec{B}}{\mu_0} (W/m²), ⟨P⟩=ε0cE022\quad \langle P\rangle = \dfrac{\varepsilon_0 c E_0^2}{2}
Bilan local d’énergie∂u∂t+J⃗⋅E⃗+∇⃗⋅P⃗=0\dfrac{\partial u}{\partial t} + \vec{J}\cdot\vec{E} + \vec{\nabla}\cdot\vec{P} = 0

Dipôle et diélectriques

NotionExpression
Moment dipolairep⃗=qAB→\vec{p} = q\overrightarrow{AB} (du − vers le +)
Couple dans E⃗\vec{E} uniformeτ⃗=p⃗∧E⃗\vec{\tau} = \vec{p}\wedge\vec{E}
Énergie d’interactionU=−p⃗⋅E⃗U = -\vec{p}\cdot\vec{E} (stable : p⃗∥E⃗\vec p \parallel \vec E)
Polarisationdp⃗=P⃗ dτd\vec{p} = \vec{P}\,d\tau
Charges liéesρpol=−∇⃗⋅P⃗\rho_{\text{pol}} = -\vec{\nabla}\cdot\vec{P}, σpol=P⃗⋅n⃗\quad \sigma_{\text{pol}} = \vec{P}\cdot\vec{n}
Vecteur déplacementD⃗=ε0E⃗+P⃗\vec{D} = \varepsilon_0\vec{E} + \vec{P}, ∇⃗⋅D⃗=ρlibres\quad \vec{\nabla}\cdot\vec{D} = \rho_{\text{libres}}
Milieu linéaireP⃗=ε0χeE⃗\vec{P} = \varepsilon_0\chi_e\vec{E}, D⃗=ε0εrE⃗\quad \vec{D} = \varepsilon_0\varepsilon_r\vec{E}, εr=1+χe\quad \varepsilon_r = 1 + \chi_e

Maxwell dans les milieux matériels

Les quatre équations : ∇⃗⋅D⃗=ρℓ\vec{\nabla}\cdot\vec{D} = \rho_\ell, ∇⃗⋅B⃗=0\quad \vec{\nabla}\cdot\vec{B} = 0, ∇⃗∧E⃗=−∂tB⃗\quad \vec{\nabla}\wedge\vec{E} = -\partial_t\vec{B}, rot→ H⃗=J⃗ℓ+∂tD⃗\quad \overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{H} = \vec{J}_\ell + \partial_t\vec{D}.

NotionExpression
Champs auxiliairesD⃗=ε0E⃗+P⃗=εE⃗\vec{D} = \varepsilon_0\vec{E} + \vec{P} = \varepsilon\vec{E}, H⃗=B⃗μ0−M⃗\quad \vec{H} = \dfrac{\vec{B}}{\mu_0} - \vec{M}, B⃗=μH⃗\quad \vec B = \mu\vec H
Passage (toujours)ETE_T continue, BNB_N continue
Passage (sans sources libres)DND_N continue, HTH_T continue
Énergie (milieu LHI)u=12εE2+12μH2u = \frac{1}{2}\varepsilon E^2 + \frac{1}{2}\mu H^2, P⃗=E⃗∧H⃗\quad \vec{P} = \vec{E}\wedge\vec{H}
Poynting complexeP⃗c=12E⃗∧H⃗∗\vec{P}_c = \frac{1}{2}\vec{E}\wedge\vec{H}^*, ⟨P⃗⟩=Re(P⃗c)\quad \langle\vec P\rangle = \mathrm{Re}(\vec{P}_c)

Diélectriques (micro → macro)

NotionExpression
Champ de LorentzE⃗L=E⃗+P⃗3ε0\vec{E}_L = \vec{E} + \dfrac{\vec{P}}{3\varepsilon_0}
Polarisabilitép⃗=αε0E⃗L\vec{p} = \alpha\varepsilon_0\vec{E}_L, α=αe+αa+αor\quad \alpha = \alpha_e + \alpha_a + \alpha_{or}
Orientation (Debye)αor=p023ε0kBT\alpha_{or} = \dfrac{p_0^2}{3\varepsilon_0 k_B T} (dépend de T)
Clausius-Mossottiεr−1εr+2=nvα3\dfrac{\varepsilon_r - 1}{\varepsilon_r + 2} = \dfrac{n_v\alpha}{3} (gaz denses, liquides non polaires)
Langevin-Debyeεr−1=nv(αe+αa+p023ε0kBT)\varepsilon_r - 1 = n_v\left(\alpha_e + \alpha_a + \dfrac{p_0^2}{3\varepsilon_0 k_B T}\right)
Susceptibilité complexeχ(ω)=χ(0)ω02(ω02−ω2)−iω/τ\chi(\omega) = \chi(0)\dfrac{\omega_0^2}{(\omega_0^2 - \omega^2) - i\omega/\tau} (χ′\chi' dispersion, χ′′\chi'' absorption)

Conducteurs (modèle de Drude)

NotionExpression
Conductivité complexeγ(ω)=γ01+iωτ\gamma(\omega) = \dfrac{\gamma_0}{1 + i\omega\tau}, γ0=Ne2τm\quad \gamma_0 = \dfrac{Ne^2\tau}{m}
Épaisseur de peauδ=2μ0γ0ω\delta = \sqrt{\dfrac{2}{\mu_0\gamma_0\omega}} (décroît en 1/ω1/\sqrt{\omega})
Indice (basses fréq.)n‾=(1−i)γ02ε0ω\underline{n} = (1-i)\sqrt{\dfrac{\gamma_0}{2\varepsilon_0\omega}}
Puissance dissipée⟨P⟩=γ1E022\langle P\rangle = \dfrac{\gamma_1 E_0^2}{2} (γ1=\gamma_1 = partie réelle)
Pulsation plasmaω<ωp\omega < \omega_p : réflexion ; ω>ωp\omega > \omega_p : transparent

Réflexion et réfraction

LoiExpression
Réflexionθr=θ1\theta_r = \theta_1 (indépendant de n2n_2 et ω\omega)
Snell-Descartesn1sin⁡θ1=n2sin⁡θ2n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2
Fresnel (incidence normale)r=n1−n2n1+n2r = \dfrac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}, τ=2n1n1+n2\quad \tau = \dfrac{2n_1}{n_1 + n_2}
ÉnergieR=∣r∣2=(n1−n2n1+n2)2R = \lvert r\rvert^2 = \left(\dfrac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\right)^2, T=4n1n2(n1+n2)2\quad T = \dfrac{4n_1 n_2}{(n_1+n_2)^2}, R+T=1\quad R + T = 1
Angle de Brewstertan⁡θB=n2n1\tan\theta_B = \dfrac{n_2}{n_1} (reflet polarisé)
Réflexion totalesi n1>n2n_1 > n_2 et θ1>θℓ\theta_1 > \theta_\ell (sin⁡θℓ=n2/n1\sin\theta_\ell = n_2/n_1), ∣r∣=1\quad \lvert r\rvert = 1
Onde évanescenteδ=1k0n12sin⁡2θ1−n22\delta = \dfrac{1}{k_0\sqrt{n_1^2\sin^2\theta_1 - n_2^2}}
Métal (Hagen-Rubens)n‾2=n(1+i)\underline{n}_2 = n(1+i), R≈1\quad R \approx 1, T≈2n≪1\quad T \approx \dfrac{2}{n} \ll 1