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Les champs : décrire l'espace point par point

≈ 20 minutes

Le gain du jour : comprendre ce qu’est un champ — l’idée centrale de tout l’électromagnétisme — et savoir distinguer champ scalaire, champ vectoriel et ligne de champ.

Pourquoi cette notion ?

L’électromagnétisme décrit des influences à distance : une charge posée ici agit sur une charge posée là-bas, sans qu’elles se touchent. Comment décrire ça proprement ?

L’idée géniale du 19ᵉ siècle : au lieu de raisonner « action d’un objet sur un autre », on décrit l’état de l’espace lui-même. En chaque point de l’espace, on attache une valeur. Cet ensemble de valeurs s’appelle un champ. C’est exactement ce que fait la météo :

la température en chaque point du pays → un nombre par point ;
le vent en chaque point → une flèche par point (direction + intensité).

Champ scalaire : un nombre en chaque point

Un champ scalaire est une fonction qui associe un nombre réel à chaque point de l’espace :

f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}, \qquad M(x, y, z) \mapsto f(x, y, z)

Exemples d’utilisation : la température $T(x,y,z)$ dans une pièce, la pression atmosphérique, l’altitude sur une carte, et — on le verra — le potentiel électrique $V$ .

Surfaces et lignes de niveau

L’ensemble des points où le champ prend la même valeur $k$ forme une surface de niveau (ou une ligne de niveau dans le plan) :

f(x, y, z) = k, \quad k \in \mathbb{R}

Tu en connais déjà : les courbes d’altitude des cartes de randonnée, les isobares des cartes météo. En électrostatique, elles s’appelleront surfaces équipotentielles.

Champ vectoriel : une flèche en chaque point

Un champ de vecteurs associe un vecteur à chaque point de l’espace :

\vec{A} : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, \qquad M \mapsto \vec{A}(M)

Exemples d’utilisation : le vent, le courant d’une rivière, le champ de pesanteur $\vec{g}$ , et bien sûr le champ électrique $\vec{E}$ et le champ magnétique $\vec{B}$ .

À gauche, un nombre par point (on trace les lignes d’égale valeur). À droite, un vecteur par point (on peut suivre une ligne de champ).

Les lignes de champ

Une ligne de champ est une courbe qui est tangente au champ en chacun de ses points : c’est le chemin que suivrait un bouchon lâché dans le courant. Mathématiquement, une courbe paramétrée $\bigl(x(s),\, y(s),\, z(s)\bigr)$ est une ligne de champ de $\vec{A}$ si son vecteur tangent est colinéaire à $\vec{A}$ en tout point :

\frac{d\vec{l}}{ds} \parallel \vec{A} \quad\Longleftrightarrow\quad \vec{A} \wedge d\vec{l} = \vec{0}

C’est l’outil de visualisation numéro un : dessiner les lignes de champ d’une charge, d’un aimant, c’est rendre visible l’invisible.

Trois objets à ne pas confondre

Objet	Où existe-t-il ?	Exemple
Vecteur libre	Nulle part en particulier : il peut être translaté	« 3 m vers le nord »
Vecteur pointé	En un seul point (point d’application)	Force appliquée sur un clou
Champ de vecteurs	En tout point de l’espace	Le vent, le champ $\vec{E}$

Un champ de vecteurs peut se voir comme une infinité de vecteurs pointés, un par point de l’espace.

Vérifie ta compréhension

La pression atmosphérique en chaque point du globe est…

Une ligne de champ est une courbe qui…

Sur une carte de randonnée, deux courbes d'altitude différentes ne se croisent jamais. Pourquoi ?

À retenir : un champ attache une grandeur à chaque point de l’espace. Scalaire = un nombre (niveaux → surfaces de niveau) ; vectoriel = une flèche (trajectoires → lignes de champ). Tout le cours consiste à étudier deux champs vectoriels, $\vec{E}$ et $\vec{B}$ , et un champ scalaire, le potentiel $V$ .

Une question ? Pose-la à ton agent-professeur, il est là pour ça.