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Repères et systèmes de coordonnées : choisir le bon point de vue

≈ 20 minutes · Prérequis : Les champs : décrire l'espace point par point

Le gain du jour : savoir repérer un point dans l’espace en cartésien, cylindrique ou sphérique — et surtout savoir lequel choisir pour simplifier un problème.

Pourquoi cette notion ?

Pour parler d’un champ, il faut pouvoir dire « en ce point, le champ vaut ça ». Donc il faut repérer les points. Trois ingrédients :

  1. un référentiel : le point de vue de l’observateur (en pratique, un point de référence OO) ;
  2. un repère orthonormé : trois axes perpendiculaires passant par OO, portés par des vecteurs unitaires (e⃗x,e⃗y,e⃗z)(\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z) ;
  3. un système de coordonnées : les nombres (longueurs ou angles) qui paramètrent la position de MM.

Le point clé — et la vraie raison d’être de cette leçon : le bon système de coordonnées transforme un calcul infaisable en calcul facile. Un problème à symétrie sphérique traité en cartésien, c’est trois pages de calcul ; en sphérique, trois lignes.

Les trois systèmes à connaître

Coordonnées cartésiennes (x,y,z)(x, y, z)

Trois longueurs mesurées le long des trois axes. Le déplacement élémentaire est le plus simple :

dl⃗=dx e⃗x+dy e⃗y+dz e⃗zd\vec{l} = dx\,\vec{e}_x + dy\,\vec{e}_y + dz\,\vec{e}_z

Quand ? Géométries « en boîte » : plaques planes, problèmes sans symétrie particulière.

Coordonnées cylindriques (ρ,θ,z)(\rho, \theta, z)

ρ\rho est la distance à l’axe OzOz, θ\theta l’angle autour de l’axe, zz la hauteur.

x=ρcos⁡θ,y=ρsin⁡θ,z=zx = \rho\cos\theta, \qquad y = \rho\sin\theta, \qquad z = z dl⃗=dρ e⃗ρ+ρ dθ e⃗θ+dz e⃗zd\vec{l} = d\rho\,\vec{e}_\rho + \rho\,d\theta\,\vec{e}_\theta + dz\,\vec{e}_z

Quand ? Tout ce qui a un axe : fil chargé, câble, bobine, tuyau.

Coordonnées sphériques (r,θ,φ)(r, \theta, \varphi)

rr est la distance au centre OO, θ\theta l’angle depuis l’axe OzOz (colatitude), φ\varphi l’angle autour de OzOz (longitude).

x=rsin⁡θcos⁡φ,y=rsin⁡θsin⁡φ,z=rcos⁡θx = r\sin\theta\cos\varphi, \qquad y = r\sin\theta\sin\varphi, \qquad z = r\cos\theta dl⃗=dr e⃗r+r dθ e⃗θ+rsin⁡θ dφ e⃗φd\vec{l} = dr\,\vec{e}_r + r\,d\theta\,\vec{e}_\theta + r\sin\theta\,d\varphi\,\vec{e}_\varphi

Quand ? Tout ce qui a un centre : charge ponctuelle, sphère chargée, atome, planète.

zxyρM(ρ, θ, z)zθCylindriques (ρ, θ, z)zxyM(r, θ, φ)rθφSphériques (r, θ, φ)
Cylindriques : distance à l’axe + angle + hauteur. Sphériques : distance au centre + deux angles.

Comment choisir ? La règle d’or

Regarde la symétrie de la source, pas celle de la question :

La distribution ressemble à…Système à choisirExemple
Un plan, une boîteCartésienCondensateur plan
Un fil, un cylindre, un axeCylindriqueCâble coaxial, fil chargé
Un point, une sphère, un centreSphériqueCharge ponctuelle, noyau atomique

Dans la suite du cours, ce choix reviendra sans arrêt : le théorème de Gauss (leçon 6) ne « marche bien » que si tu as choisi le système adapté à la symétrie.

Attention : les vecteurs de base peuvent bouger

En cartésien, (e⃗x,e⃗y,e⃗z)(\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z) sont fixes. Mais en cylindrique et en sphérique, e⃗ρ\vec{e}_\rho, e⃗r\vec{e}_r, e⃗θ\vec{e}_\theta… dépendent du point MM : si MM bouge, ils tournent avec lui. Conséquence pratique : quand on dérive un vecteur exprimé dans ces bases, il faut aussi dériver les vecteurs de base. C’est le piège classique de L2.

Vérifie ta compréhension

Pour calculer le champ créé par un long fil rectiligne chargé, le système naturel est…

En coordonnées sphériques, la coordonnée r représente…

Pourquoi faut-il se méfier quand on dérive un vecteur exprimé dans la base sphérique ?

À retenir : cartésien pour les boîtes, cylindrique pour les axes, sphérique pour les centres. Le système de coordonnées est un outil au service de la symétrie du problème.

Bloqué sur les relations de passage ? Demande une démonstration à ton agent-professeur.