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Loi de Coulomb et champ électrique

≈ 25 minutes · Prérequis : Gradient, divergence, rotationnel : le langage des champs

Le gain du jour : la loi qui fonde toute l’électrostatique, l’idée de champ électrique qui en découle, et la recette pour traiter des charges en nombre quelconque — jusqu’aux distributions continues.

Pourquoi cette notion ?

Frotte une règle en plastique, approche-la de petits bouts de papier : ils sautent dessus. Deux objets chargés s’attirent ou se repoussent à distance. L’électrostatique commence par mesurer cette force ; tout le reste (champ, potentiel, Gauss) en découle par pure logique.

La loi de Coulomb (1785)

Deux charges ponctuelles $q_1$ (au point $P$ ) et $q_2$ (au point $M$ ), dans le vide, séparées de $r = PM$ :

\vec{F}_{q_1 \to q_2} = \frac{q_1 q_2}{4\pi\varepsilon_0\, r^2}\; \vec{u} \qquad\text{avec}\quad \vec{u} = \frac{\overrightarrow{PM}}{\lVert \overrightarrow{PM} \rVert}

où $\varepsilon_0 \approx 8{,}85 \times 10^{-12}$ F/m est la permittivité du vide. Lis la formule avec les yeux d’un physicien :

en $1/r^2$ : deux fois plus loin → quatre fois plus faible (comme la gravité) ;
signe : $q_1 q_2 > 0$ (mêmes signes) → répulsion ; signes opposés → attraction ;
action-réaction : $\vec{F}_{q_2 \to q_1} = -\vec{F}_{q_1 \to q_2}$ .

Ordre de grandeur : deux charges de 1 μC à 10 cm l’une de l’autre se repoussent avec $F = 9\times10^9 \times 10^{-12}/10^{-2} \approx 0{,}9$ N — le poids d’une pomme, pour des charges minuscules. La force électrique est colossale comparée à la gravité : entre deux électrons, elle est $\sim 10^{42}$ fois plus forte. Si le monde nous paraît neutre, c’est que les + et les − se compensent presque parfaitement.

Le champ électrique : découpler la source et la cible

Problème conceptuel : la force de Coulomb dépend des deux charges. On aimerait décrire l’influence de $q_1$ indépendamment de la charge qui la subit. On factorise :

\vec{F}_{q_1 \to q_2} = q_2\, \vec{E}_{q_1} \qquad\text{avec}\qquad \vec{E}_{q_1}(M) = \frac{q_1}{4\pi\varepsilon_0\, r^2}\; \vec{u}

$\vec{E}_{q_1}$ est le champ électrique créé par $q_1$ : un champ vectoriel (leçon 1) qui existe en tout point $M$ , que quelque chose s’y trouve ou non. Il se mesure en volts par mètre (V/m). C’est l’état de l’espace modifié par la présence de la charge.

Lignes de champ d’une charge ponctuelle : radiales, sortantes pour +, entrantes pour −.

Le principe de superposition

Plusieurs charges ? Les effets s’additionnent vectoriellement, sans se perturber :

\vec{E}(M) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \sum_{i=1}^{N} q_i\, \frac{\overrightarrow{P_i M}}{\lVert \overrightarrow{P_i M} \rVert^3}

Ce principe, d’apparence banale, est la propriété structurante de l’électromagnétisme : c’est lui qui permettra de découper n’importe quelle distribution en petits morceaux, et lui qui impose au champ de respecter les symétries de la source (leçon 6).

Des charges ponctuelles aux distributions continues

À notre échelle, la matière contient tellement de charges qu’on les décrit comme un fluide continu. On découpe la source en éléments infinitésimaux portant $dQ$ , chacun créant un petit champ de Coulomb, et on somme — c’est-à-dire qu’on intègre :

Distribution	Densité	Charge élémentaire	Champ créé
Sur un fil	linéique $\lambda$ (C/m)	$dQ = \lambda\, dl$	$\displaystyle \vec{E}(M) = \int_{(l)} \frac{\lambda\, \overrightarrow{PM}}{4\pi\varepsilon_0\, PM^3}\, dl$
Sur une surface	surfacique $\sigma$ (C/m²)	$dQ = \sigma\, dS$	$\displaystyle \vec{E}(M) = \iint_{(S)} \frac{\sigma\, \overrightarrow{PM}}{4\pi\varepsilon_0\, PM^3}\, dS$
Dans un volume	volumique $\rho$ (C/m³)	$dQ = \rho\, d\tau$	$\displaystyle \vec{E}(M) = \iiint_{(\tau)} \frac{\rho\, \overrightarrow{PM}}{4\pi\varepsilon_0\, PM^3}\, d\tau$

La recette est toujours la même : découper, appliquer Coulomb au morceau, sommer. En pratique ces intégrales sont vite pénibles — c’est exactement pour ça que le théorème de Gauss (leçon 6) existe.

Vérifie ta compréhension

On double la distance entre deux charges. La force est…

Le champ électrique en un point M existe-t-il si aucune charge n'est placée en M ?

Une charge répartie sur une plaque se décrit par une densité…

À retenir : $\vec{F} = q\vec{E}$ , avec un champ en $1/r^2$ radial pour une charge ponctuelle. Superposition = on additionne les champs. Distribution continue = on intègre $dQ \in \lbrace \lambda dl,\ \sigma dS,\ \rho d\tau \rbrace$ .

Un doute sur une intégrale ? Fais-toi guider par ton agent-professeur, exemple à l’appui.