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Gradient, divergence, rotationnel : le langage des champs

≈ 25 minutes · Prérequis : Repères et systèmes de coordonnées : choisir le bon point de vue

Le gain du jour : comprendre intuitivement les trois opérateurs qui servent à écrire toutes les lois de l’électromagnétisme — et les deux identités qui fondent la notion de potentiel.

Pourquoi cette notion ?

Une loi physique locale dit comment un champ varie d’un point à son voisin. Il nous faut donc des « dérivées de champs ». Il en existe trois, chacune répond à une question différente :

OpérateurQuestion poséeEntrée → Sortie
gradientDans quelle direction ça monte le plus ?scalaire → vecteur
divergenceCe point est-il une source ou un puits ?vecteur → scalaire
rotationnelLe champ tourbillonne-t-il autour de ce point ?vecteur → vecteur

Les équations de Maxwell — le sommet de ce cours — sont écrites uniquement avec ces trois opérateurs. Les maîtriser, c’est savoir lire les lois de la nature dans le texte.

L’opérateur nabla ∇⃗\vec{\nabla}

Pour alléger les écritures, on introduit un « vecteur symbolique » dont les composantes sont des dérivées partielles :

∇⃗=∂∂x e⃗x+∂∂y e⃗y+∂∂z e⃗z\vec{\nabla} = \frac{\partial}{\partial x}\,\vec{e}_x + \frac{\partial}{\partial y}\,\vec{e}_y + \frac{\partial}{\partial z}\,\vec{e}_z

Les trois opérateurs s’écrivent alors comme trois « produits » avec ∇⃗\vec{\nabla} : produit simple, produit scalaire, produit vectoriel.

Le gradient : la direction de plus grande pente

grad→ f=∇⃗f=∂f∂x e⃗x+∂f∂y e⃗y+∂f∂z e⃗z\overrightarrow{\mathrm{grad}}\, f = \vec{\nabla} f = \frac{\partial f}{\partial x}\,\vec{e}_x + \frac{\partial f}{\partial y}\,\vec{e}_y + \frac{\partial f}{\partial z}\,\vec{e}_z

Le gradient d’un champ scalaire ff est un vecteur qui pointe dans la direction où ff augmente le plus vite ; sa norme dit à quelle vitesse. Il est toujours perpendiculaire aux surfaces de niveau (si tu marches le long d’une courbe d’altitude, tu ne montes pas — la pente maximale est perpendiculaire à ton chemin).

Exemple d’utilisation : en météo, le vent souffle des hautes vers les basses pressions, « poussé » par −∇⃗P-\vec{\nabla}P. En électrostatique, E⃗=−∇⃗V\vec{E} = -\vec{\nabla}V : le champ électrique descend le potentiel, comme une bille descend la pente.

La divergence : sources et puits

div A⃗=∇⃗⋅A⃗=∂Ax∂x+∂Ay∂y+∂Az∂z\mathrm{div}\,\vec{A} = \vec{\nabla}\cdot\vec{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}

La divergence d’un champ vectoriel est un nombre qui mesure si le champ sort du point (source, div > 0) ou y rentre (puits, div < 0). Pense à un robinet ouvert au fond d’une piscine : autour de lui, l’eau diverge.

Exemple d’utilisation : la loi de Gauss locale ∇⃗⋅E⃗=ρ/ε0\vec{\nabla}\cdot\vec{E} = \rho/\varepsilon_0 dit exactement que les charges positives sont les robinets du champ électrique (et les négatives, les siphons). Un champ de divergence nulle partout est dit transverse (c’est le cas du champ magnétique : ∇⃗⋅B⃗=0\vec{\nabla}\cdot\vec{B} = 0, pas de « charge magnétique »).

Le rotationnel : le tourbillon local

rot→ A⃗=∇⃗∧A⃗=(∂yAz−∂zAy∂zAx−∂xAz∂xAy−∂yAx)\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{A} = \vec{\nabla}\wedge\vec{A} = \begin{pmatrix} \partial_y A_z - \partial_z A_y \\ \partial_z A_x - \partial_x A_z \\ \partial_x A_y - \partial_y A_x \end{pmatrix}

Le rotationnel mesure la tendance du champ à tourner autour d’un axe passant par le point. Imagine une petite roue à aubes plongée dans le courant : si elle se met à tourner, le rotationnel est non nul, et son axe de rotation donne la direction de rot→ A⃗\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{A}.

grad fgradient ⟂ niveauxdiv > 0 : sourcerot ≠ 0 : tourbillon
Trois questions locales : où ça monte (gradient), qu’est-ce qui sort (divergence), qu’est-ce qui tourne (rotationnel).

Le laplacien : bonus indispensable

Le laplacien enchaîne divergence et gradient — c’est la « dérivée seconde » des champs :

Δf=div (grad→ f)=∂2f∂x2+∂2f∂y2+∂2f∂z2\Delta f = \mathrm{div}\,(\overrightarrow{\mathrm{grad}}\, f) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}

Il mesure l’écart entre ff en un point et la moyenne de ff autour de ce point. On le retrouvera dans l’équation de Poisson ΔV=−ρ/ε0\Delta V = -\rho/\varepsilon_0 et dans l’équation des ondes.

Les deux identités qui changent tout

Deux compositions donnent toujours zéro :

rot→ (grad→ f)=0⃗div (rot→ A⃗)=0\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,(\overrightarrow{\mathrm{grad}}\, f) = \vec{0} \qquad\qquad \mathrm{div}\,(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{A}) = 0

Pourquoi c’est capital ? Parce que ça marche aussi dans l’autre sens :

Toute la notion de potentiel électrique (leçon 5) repose sur la première identité.

Vérifie ta compréhension

Le gradient d'un champ scalaire pointe…

Autour d'un robinet ouvert au fond d'une piscine, le champ de vitesse de l'eau a…

On sait que rot E = 0 en électrostatique. Qu'est-ce que cela garantit ?

Que vaut div(rot A), pour n'importe quel champ A suffisamment régulier ?

À retenir : ∇⃗f\vec{\nabla}f = pente, ∇⃗⋅A⃗\vec{\nabla}\cdot\vec{A} = sources, ∇⃗∧A⃗\vec{\nabla}\wedge\vec{A} = tourbillons. Et les deux zéros — rot grad=0⃗\mathrm{rot}\,\mathrm{grad} = \vec 0, div rot=0\mathrm{div}\,\mathrm{rot} = 0 — sont la porte d’entrée des potentiels. Les formules dans les trois systèmes de coordonnées sont dans le formulaire.

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