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Les diélectriques : du champ local à la constante ε_r

≈ 30 minutes · Prérequis : Maxwell dans la matière : les champs D et H

Le gain du jour : faire le pont entre le monde microscopique (un atome, sa polarisabilité) et le monde macroscopique (la constante diélectrique $\varepsilon_r$ qu’on mesure) — le raisonnement de Lorentz, puis les formules de Clausius-Mossotti et de Langevin-Debye.

Pourquoi cette notion ?

En leçon 7 on a introduit la polarisation $\vec P$ et la constante $\varepsilon_r$ « par le haut », comme des grandeurs mesurables. Mais d’où viennent-elles ? D’un seul atome qui se déforme dans un champ. Le problème : quel champ ressent réellement cet atome ? Ce n’est ni le champ appliqué, ni le champ macroscopique moyen. Résoudre cette question, c’est prédire $\varepsilon_r$ à partir de la structure de la matière — ce que font les logiciels de conception de matériaux.

Le vrai problème : le champ local

Trois champs à ne pas confondre :

$\vec{E}_0$ : le champ externe appliqué au milieu ;
$\vec{E}$ : le champ macroscopique, moyenne mésoscopique (celui des équations de Maxwell) ;
$\vec{E}_L$ : le champ local, celui que ressent vraiment un atome donné.

L’atome n’est pas soumis à la moyenne $\vec{E}$ : il « voit » aussi le champ créé par tous ses voisins polarisés. C’est $\vec{E}_L$ qui déforme l’atome, donc c’est lui qui pilote la polarisation.

Le champ de Lorentz

Lorentz propose une astuce géométrique : autour de l’atome étudié, on trace une petite sphère fictive. Le champ local se décompose en

\vec{E}_L = \vec{E} + \vec{E}_P

où $\vec{E}_P$ est le champ créé au centre par tous les dipôles. On le sépare en contribution des dipôles hors de la sphère (traités en continu) et dans la sphère. Pour un milieu assez symétrique, la contribution interne est négligeable et l’externe vaut $\vec{P}/3\varepsilon_0$ . D’où le champ de Lorentz :

\boxed{\ \vec{E}_L = \vec{E} + \frac{\vec{P}}{3\varepsilon_0}\ }

Un atome dans un milieu dense ressent plus que le champ moyen : ses voisins l’amplifient.

Polarisabilité : la réponse d’un atome

À l’échelle microscopique, le moment dipolaire induit est proportionnel au champ local :

\vec{p} = \alpha\,\varepsilon_0\,\vec{E}_L

$\alpha > 0$ est la polarisabilité de l’entité (atome, ion, molécule). Elle a trois origines qui s’additionnent, $\alpha = \alpha_e + \alpha_a + \alpha_{or}$ :

Mécanisme	Ce qui bouge	Dépend de T ?
$\alpha_e$ électronique	le nuage électronique se déforme	non
$\alpha_a$ atomique/ionique	les ions s’écartent de l’équilibre	non
$\alpha_{or}$ d’orientation	les dipôles permanents pivotent	oui : $\alpha_{or} = \dfrac{p_0^2}{3\varepsilon_0 k_B T}$

La dépendance en $1/T$ de l’orientation vient de la bagarre entre le champ (qui aligne) et l’agitation thermique (qui désaligne) — plus il fait chaud, moins on aligne.

La polarisation macroscopique somme tous ces moments : $\vec{P} = n_v\,\vec{p}$ , où $n_v$ est le nombre de dipôles par unité de volume.

Recoller le microscopique et le macroscopique

En combinant $\vec{P} = n_v\alpha\varepsilon_0\vec{E}_L$ avec le champ de Lorentz, on résout pour $\vec P$ :

\vec{P} = \frac{n_v\alpha\varepsilon_0}{1 - n_v\frac{\alpha}{3}}\,\vec{E} = \varepsilon_0\chi\vec{E} \qquad\text{avec}\qquad \chi = \frac{n_v\alpha}{1 - \frac{n_v\alpha}{3}}

et comme $\varepsilon_r = 1 + \chi$ , un peu d’algèbre donne la relation de Clausius-Mossotti :

\boxed{\ \frac{\varepsilon_r - 1}{\varepsilon_r + 2} = \frac{n_v\alpha}{3}\ }

C’est le pont recherché : à gauche une grandeur macroscopique mesurable ( $\varepsilon_r$ ), à droite une grandeur microscopique ( $\alpha$ ) fois la densité. Elle vaut pour les gaz denses et les liquides de molécules non polaires.

Trois cas selon la densité

Gaz très dilué : le champ local ≈ champ macroscopique, $\chi \approx n_v\alpha$ ;
Gaz dense / liquide non polaire : Clausius-Mossotti (ci-dessus) ;
Molécules polaires (eau…) : on ajoute l’orientation, ce qui donne la relation de Langevin-Debye :

\chi = \varepsilon_r - 1 = n_v\Bigl(\alpha_e + \alpha_a + \frac{p_0^2}{3\varepsilon_0 k_B T}\Bigr)

Cette dernière montre que la constante diélectrique d’un milieu polaire dépend de la température — mesurer $\varepsilon_r(T)$ permet de remonter au moment dipolaire $p_0$ de la molécule. C’est ainsi que Debye a mesuré le dipôle de l’eau.

Réponse en fréquence : la dispersion

Sous un champ oscillant, chaque électron lié est un oscillateur harmonique amorti (modèle de Drude-Lorentz) : masse $m$ , pulsation propre $\omega_0$ , amortissement. La susceptibilité devient complexe et dépend de $\omega$ :

\chi(\omega) = \chi(0)\,\frac{\omega_0^2}{(\omega_0^2 - \omega^2) - i\frac{\omega}{\tau}}

Sa partie réelle $\chi'$ décrit la dispersion (l’indice qui change avec la couleur — le prisme !), sa partie imaginaire $\chi''$ décrit l’absorption, avec un pic en Lorentzienne centré sur la fréquence de résonance $\omega_0$ . C’est la physique de la couleur des matériaux et des raies d’absorption.

Vérifie ta compréhension

Le champ local ressenti par un atome dans un solide dense est…

La relation de Clausius-Mossotti relie…

Pourquoi la polarisation d'orientation dépend-elle de la température ?

La partie imaginaire de la susceptibilité χ''(ω) décrit…

À retenir : champ de Lorentz $\vec E_L = \vec E + \vec P/3\varepsilon_0$ ; $\vec p = \alpha\varepsilon_0\vec E_L$ ; Clausius-Mossotti $(\varepsilon_r-1)/(\varepsilon_r+2) = n_v\alpha/3$ ; Langevin-Debye ajoute $p_0^2/3\varepsilon_0 k_B T$ (dépend de T). En fréquence, $\chi(\omega)$ complexe : $\chi'$ dispersion, $\chi''$ absorption.

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