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Maxwell dans la matière : les champs D et H

≈ 25 minutes · Prérequis : L'énergie électromagnétique et le vecteur de Poynting

Le gain du jour : réécrire les équations de Maxwell pour qu’elles restent utilisables dans la matière — en cachant les milliards de charges liées derrière deux nouveaux champs, D⃗\vec{D} et H⃗\vec{H} — et savoir ce qui se passe à la frontière entre deux milieux.

Pourquoi cette notion ?

Les équations de Maxwell sont exactes partout… à condition de mettre dans ρ\rho et J⃗\vec J toutes les charges et tous les courants — y compris les charges de polarisation et les courants microscopiques de la matière, qu’on ne connaît jamais. Inutilisable tel quel dans un morceau de verre. La solution : trier les sources, et absorber celles qu’on ne contrôle pas dans de nouveaux champs.

Trier les sources

Les charges se classent en deux groupes : ρtot=ρℓ+ρp\rho_{tot} = \rho_\ell + \rho_p — les charges libres ρℓ\rho_\ell (électrons de conduction) et les charges liées ρp=−∇⃗⋅P⃗\rho_p = -\vec{\nabla}\cdot\vec{P} (la polarisation, leçon 7).

Les courants en trois : J⃗tot=J⃗ℓ+J⃗p+J⃗m\vec{J}_{tot} = \vec{J}_\ell + \vec{J}_p + \vec{J}_m, avec le courant libre, le courant de polarisation J⃗p=∂P⃗/∂t\vec{J}_p = \partial\vec{P}/\partial t et le courant d’aimantation J⃗m=∇⃗∧M⃗\vec{J}_m = \vec{\nabla}\wedge\vec{M} (où M⃗\vec M est l’aimantation du milieu).

Absorber les charges liées : D⃗\vec{D} et H⃗\vec{H}

Injecte ce tri dans Maxwell-Gauss : les termes de polarisation se regroupent à gauche,

div(ε0E⃗+P⃗)=ρℓ⟹ ∇⃗⋅D⃗=ρℓ avecD⃗=ε0E⃗+P⃗\mathrm{div}\Bigl(\varepsilon_0\vec{E} + \vec{P}\Bigr) = \rho_\ell \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\ \vec{\nabla}\cdot\vec{D} = \rho_\ell\ } \quad\text{avec}\quad \vec{D} = \varepsilon_0\vec{E} + \vec{P}

Même geste dans Maxwell-Ampère : les courants liés se regroupent avec B⃗\vec B,

rot→(B⃗μ0−M⃗)=J⃗ℓ+∂D⃗∂t⟹ rot→ H⃗=J⃗ℓ+∂D⃗∂t avecH⃗=B⃗μ0−M⃗\overrightarrow{\mathrm{rot}}\Bigl(\frac{\vec{B}}{\mu_0} - \vec{M}\Bigr) = \vec{J}_\ell + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\ \overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{H} = \vec{J}_\ell + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\ } \quad\text{avec}\quad \vec{H} = \frac{\vec{B}}{\mu_0} - \vec{M}

H⃗\vec{H} est le vecteur excitation magnétique. Les deux équations sans sources restent inchangées. Bilan — les équations de Maxwell dans un milieu matériel :

ÉquationExpression
Maxwell-Gauss∇⃗⋅D⃗=ρℓ\vec{\nabla}\cdot\vec{D} = \rho_\ell
Maxwell-Thomson∇⃗⋅B⃗=0\vec{\nabla}\cdot\vec{B} = 0
Maxwell-Faraday∇⃗∧E⃗=−∂B⃗∂t\vec{\nabla}\wedge\vec{E} = -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}
Maxwell-Ampèrerot→ H⃗=J⃗ℓ+∂D⃗∂t\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{H} = \vec{J}_\ell + \dfrac{\partial \vec{D}}{\partial t}

La beauté du geste : seules les charges et courants libres — ceux que l’expérimentateur contrôle — apparaissent. Dans un milieu LHI (linéaire, homogène, isotrope), tout se ferme avec deux constantes :

D⃗=εE⃗=ε0εrE⃗B⃗=μH⃗\vec{D} = \varepsilon\vec{E} = \varepsilon_0\varepsilon_r\vec{E} \qquad\qquad \vec{B} = \mu\vec{H}

Aux frontières : les relations de passage

Une interface entre deux milieux (verre/air, air/métal…) est une zone de discontinuité. Les équations de Maxwell y imposent des règles de raccordement, avec n⃗12\vec{n}_{12} la normale allant du milieu 1 vers le 2 :

ComposanteRègleVient de
ETE_T (tangentielle)continue : ET1=ET2E_{T_1} = E_{T_2}Maxwell-Faraday
BNB_N (normale)continue : BN1=BN2B_{N_1} = B_{N_2}∇⃗⋅B⃗=0\vec\nabla\cdot\vec B = 0
DND_N (normale)saut =σℓ= \sigma_\ell : DN2−DN1=σℓD_{N_2} - D_{N_1} = \sigma_\ellMaxwell-Gauss
HTH_T (tangentielle)saut =j⃗sℓ= \vec{j}_{s\ell} : H⃗T2−H⃗T1=j⃗sℓ∧n⃗12\vec{H}_{T_2} - \vec{H}_{T_1} = \vec{j}_{s\ell}\wedge\vec{n}_{12}Maxwell-Ampère

Cas clé (interface entre deux diélectriques, sans charges ni courants libres) : les quatre grandeurs ETE_T, BNB_N, DND_N, HTH_T sont toutes continues. Ce sont exactement ces conditions qui produiront les lois de la réflexion et de la réfraction (leçons 18–19).

L’énergie dans un milieu

Le même calcul qu’en leçon 14, mené avec H⃗\vec H et D⃗\vec D, donne pour un milieu LHI :

u=12εE2+12μH2P⃗=E⃗∧H⃗u = \frac{1}{2}\varepsilon E^2 + \frac{1}{2}\mu H^2 \qquad\qquad \vec{P} = \vec{E}\wedge\vec{H}

Le vecteur de Poynting devient E⃗∧H⃗\vec E\wedge\vec H, et en régime sinusoïdal on utilise le Poynting complexe P⃗c=12E⃗∧H⃗∗\vec{P}_c = \frac{1}{2}\vec{E}\wedge\vec{H}^*, dont la partie réelle donne directement la moyenne temporelle ⟨P⃗⟩\langle\vec P\rangle — l’outil standard de l’ingénieur antennes/hyperfréquences.

Vérifie ta compréhension

Quel est l'intérêt principal des champs D et H ?

À l'interface entre deux diélectriques parfaits (sans charges libres), laquelle est continue ?

Dans un milieu LHI, la relation entre D et E s'écrit…

À retenir : D⃗=ε0E⃗+P⃗\vec{D} = \varepsilon_0\vec{E} + \vec{P}, H⃗=B⃗/μ0−M⃗\vec{H} = \vec{B}/\mu_0 - \vec{M} ; ∇⃗⋅D⃗=ρℓ\vec\nabla\cdot\vec D = \rho_\ell, rot→H⃗=J⃗ℓ+∂tD⃗\overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec H = \vec J_\ell + \partial_t\vec D. Aux interfaces : ETE_T, BNB_N continues toujours ; DND_N et HTH_T continues sans sources libres. Énergie : u=12(εE2+μH2)u = \frac{1}{2}(\varepsilon E^2 + \mu H^2), P⃗=E⃗∧H⃗\vec P = \vec E\wedge\vec H.

Une démonstration de relation de passage en détail ? Demande à ton agent-professeur.