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Réflexion et réfraction : les lois de Snell-Descartes

≈ 25 minutes · Prérequis : Les conducteurs : modèle de Drude, effet de peau et plasma

Le gain du jour : retrouver les lois de l’optique — celles du miroir et du verre d’eau — non pas comme des recettes, mais comme une conséquence directe des équations de Maxwell à une interface.

Pourquoi cette notion ?

Une onde qui arrive sur une vitre se sépare : une partie repart (réflexion), une partie traverse en se courbant (réfraction). Ces lois — connues depuis Descartes — expliquent le miroir, la lentille, le prisme, la fibre optique, le mirage. Le point remarquable : elles sortent entièrement des relations de passage de la leçon 15. Pas besoin de nouvelle physique.

Le montage

Deux milieux transparents (indices $n_1$ et $n_2$) séparés par une interface plane (le plan $xOy$). Une onde plane arrive du milieu 1 avec le vecteur d’onde $\vec{k}_i$. On appelle :

• plan d’incidence : le plan contenant $\vec{k}_i$ et la normale $\vec{n}_{12}$ (l’axe $z$) ;
• angle d’incidence $\theta_1$ : l’angle entre $\vec{k}_i$ et la normale.

L’interface est invariante par translation dans les directions $x$ et $y$. C’est cette symétrie qui va tout imposer.

D’où viennent les lois : la continuité des phases

À la surface, les trois ondes (incidente, réfléchie, transmise) doivent se raccorder en tout point et à tout instant. Cela n’est possible que si leurs phases coïncident sur l’interface, ce qui impose l’égalité des composantes tangentielles des vecteurs d’onde :

Toutes les conséquences en découlent mécaniquement.

Les lois de la réflexion

Comme l’onde incidente et l’onde réfléchie restent dans le même milieu, leurs vecteurs d’onde ont la même norme ($k_r = k_i = k_1$). L’égalité des composantes $x$ donne alors :

1. L’onde réfléchie reste dans le plan d’incidence (car $k_{r,y} = 0$).
2. Angle de réflexion = angle d’incidence : $\theta_r = \theta_1$.

Remarque importante : les lois de la réflexion ne dépendent pas du milieu 2, ni de la fréquence. Un miroir réfléchit toutes les couleurs de la même façon — ce qui n’est pas le cas de la réfraction.

Les lois de la réfraction

L’onde transmise change de milieu : sa norme devient $k_t = k_0 n_2$. L’égalité $k_{t,x} = k_{i,x}$ s’écrit $k_2\sin\theta_2 = k_1\sin\theta_1$, soit, en remplaçant $k_1 = k_0 n_1$ et $k_2 = k_0 n_2$ :

1. L’onde transmise reste dans le plan d’incidence ;
2. La loi de Snell-Descartes :

Lecture physique : en passant dans un milieu plus dense ($n_2 > n_1$, ex. air → eau), l’onde se rapproche de la normale ; dans un milieu moins dense, elle s’en écarte. C’est pourquoi une paille dans un verre d’eau paraît brisée, et pourquoi une lentille converge.

Pourquoi le prisme décompose la lumière blanche : l’indice $n_2$ dépend légèrement de la fréquence (dispersion, leçon 16), donc chaque couleur est déviée d’un angle différent. La réflexion, elle, est achromatique — d’où l’utilité du miroir.

Vérifie ta compréhension

À retenir : continuité des composantes tangentielles de $\vec k$ → réflexion $\theta_r = \theta_1$ (indépendante du milieu 2 et de $\omega$) et réfraction $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$ (Snell-Descartes, dépend de la couleur par la dispersion).

Il reste à savoir COMBIEN se réfléchit et se transmet — c’est Fresnel, la leçon suivante.