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Fresnel, Brewster et réflexion totale : combien passe, combien repart

≈ 30 minutes · Prérequis : Réflexion et réfraction : les lois de Snell-Descartes

Le gain du jour : aller au-delà des directions (Snell) pour calculer les amplitudes — quelle fraction de l’onde repart, quelle fraction traverse. C’est la physique des lunettes polarisantes, de la fibre optique et de l’éclat des métaux.

Pourquoi cette notion ?

Snell dit où vont les ondes réfléchie et transmise, mais pas combien d’énergie va dans chacune. Or c’est cette répartition qui compte : pourquoi une vitre réfléchit ~4 % de la lumière, pourquoi un lac éblouit sous un certain angle, pourquoi la fibre optique garde la lumière prisonnière, pourquoi un métal est un miroir. Les formules de Fresnel donnent tout.

Facteurs de réflexion et de transmission

On définit deux nombres (complexes, sans dimension) rapportant les amplitudes des champs électriques réfléchi et transmis à l’amplitude incidente :

r = \frac{\underline{E}_{r,0}}{\underline{E}_{i,0}} \qquad\qquad \tau = \frac{\underline{E}_{t,0}}{\underline{E}_{i,0}}

Leur valeur dépend de la polarisation de l’onde — si $\vec E$ est perpendiculaire au plan d’incidence ( $r_\perp$ ) ou dans ce plan ( $r_\parallel$ ) — car les conditions de raccordement ne sont pas les mêmes pour les deux.

Les formules de Fresnel (incidence normale)

Le cas le plus simple : l’onde arrive perpendiculairement ( $\theta_1 = 0$ ). Les relations de continuité de $\vec E$ tangentiel et de $\vec B$ tangentiel donnent le système

1 + r = \tau \qquad\text{et}\qquad (1 - r)\,n_1 = \tau\,n_2

d’où les coefficients de Fresnel :

\boxed{\ r = \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\ } \qquad\qquad \boxed{\ \tau = \frac{2 n_1}{n_1 + n_2}\ }

Et les fractions d’énergie réfléchie et transmise (coefficients $R$ et $T$ , avec $R+T=1$ ) :

R = |r|^2 = \left(\frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\right)^2 \qquad\qquad T = \frac{4 n_1 n_2}{(n_1 + n_2)^2}

Exemple — une vitre ( $n_2 = 1{,}5$ ) vue depuis l’air ( $n_1 = 1$ ) : $R = (0{,}5/2{,}5)^2 = 4\%$ . C’est exactement le reflet qu’on voit dans une fenêtre, et la raison des traitements antireflet sur les lunettes et objectifs.

Le déphasage de π : quand l’onde se réfléchit sur un milieu plus réfringent ( $n_2 > n_1$ ), $r$ est négatif : l’onde réfléchie subit un déphasage de $\pi$ (demi-tour). Ce détail est à l’origine des couleurs des bulles de savon et des interférences en couches minces.

L’angle de Brewster

À incidence oblique, il existe un angle magique $\theta_B$ pour lequel la composante $r_\parallel$ s’annule : à cet angle, l’onde réfléchie est totalement polarisée perpendiculairement au plan d’incidence. Il vérifie

\tan\theta_B = \frac{n_2}{n_1}

Exemples d’utilisation : la lumière réfléchie sur l’eau ou la route près de l’angle de Brewster est fortement polarisée horizontalement — c’est pourquoi les lunettes de soleil polarisantes, qui bloquent cette polarisation, suppriment l’éblouissement des reflets. Les photographes utilisent un filtre polarisant pour le même effet (ciel plus sombre, reflets atténués).

La réflexion totale

Quand l’onde va d’un milieu dense vers un moins dense ( $n_1 > n_2$ , ex. eau → air), Snell donne $\sin\theta_2 = (n_1/n_2)\sin\theta_1$ : au-delà d’un angle limite $\theta_\ell$ (tel que $\sin\theta_\ell = n_2/n_1$ ), il n’y a plus d’angle $\theta_2$ possible. L’onde est totalement réfléchie : $|r| = 1$ , toute l’énergie repart.

L’onde évanescente : dans le milieu 2, il subsiste une onde qui ne se propage pas mais s’atténue exponentiellement sur une profondeur

\delta = \frac{1}{k_0\sqrt{n_1^2\sin^2\theta_1 - n_2^2}}

Elle transporte de l’énergie parallèlement à la surface mais pas à travers.

Exemples d’utilisation : la fibre optique repose entièrement sur la réflexion totale — la lumière rebondit indéfiniment dans le cœur sans s’échapper, ce qui achemine Internet à travers les océans. Le prisme à réflexion totale des jumelles, l’éclat du diamant (son indice élevé donne un petit angle limite, donc beaucoup de réflexions internes), et les capteurs à onde évanescente en biologie exploitent le même phénomène.

Réflexion sur un conducteur : Hagen-Rubens

Sur un métal (leçon 17), l’indice est complexe, $\underline{n}_2 = n(1+i)$ avec $n \gg 1$ . Le coefficient de réflexion tend vers

r = \frac{1 - n - in}{1 + n + in} \approx -1 \qquad\Longrightarrow\qquad R \approx 1

Le métal réfléchit presque toute l’énergie : c’est pourquoi il est un miroir. La petite fraction absorbée est donnée par la formule de Hagen-Rubens :

T = \frac{4 n_1 n_2}{(n_1 + n_2)^2 + K_1^2} \approx \frac{2}{n} \ll 1

Plus le métal est bon conducteur (grand $n$ ), plus il réfléchit et moins il absorbe — l’argent et l’aluminium font les meilleurs miroirs.

Vérifie ta compréhension

Une vitre (n=1,5) vue depuis l'air réfléchit environ…

Les lunettes de soleil polarisantes réduisent l'éblouissement des reflets parce que…

La fibre optique guide la lumière grâce à…

Pourquoi un métal est-il un bon miroir ?

À retenir : Fresnel (incidence normale) $r = (n_1-n_2)/(n_1+n_2)$ , $R = |r|^2$ (vitre : 4 %). Réflexion sur milieu plus réfringent → déphasage $\pi$ . Brewster $\tan\theta_B = n_2/n_1$ (reflet polarisé). Réflexion totale si $n_1 > n_2$ au-delà de $\theta_\ell$ (fibre optique) + onde évanescente. Métal : $R \approx 1$ , absorption $\approx 2/n$ (Hagen-Rubens).

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