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L'induction : quand le magnétisme fabrique de l'électricité

≈ 25 minutes · Prérequis : Le champ magnétique en bref : le minimum vital

Le gain du jour : comprendre le phénomène qui alimente 95 % de l’électricité mondiale — l’induction — et sa traduction en équation : la loi de Faraday, puis l’équation de Maxwell-Faraday.

Pourquoi cette notion ?

Jusqu’ici, tout était statique : des charges immobiles, des champs figés. Le monde réel bouge. Quand les champs dépendent du temps, trois phénomènes nouveaux apparaissent : l’induction (cette leçon), le phénomène de capacité (leçon suivante) et la propagation (chapitre suivant — les ondes).

L’induction, c’est la découverte de Faraday (1831) : faire varier un flux magnétique à travers un circuit y fait naître un courant, sans aucune pile. C’est le principe de l’alternateur (barrage, centrale, éolienne), de la dynamo de vélo, de la plaque à induction, du transformateur, de la recharge sans fil. Produire de l’électricité = faire varier un flux.

Trois façons de faire varier le flux

Le flux $\Phi_m = \iint_{(S)}\vec{B}\cdot d\vec{S}$ à travers un circuit peut varier de trois manières :

1. circuit mobile dans un champ permanent (alternateur : la bobine tourne) ;
2. circuit fixe dans un champ variable (transformateur, plaque à induction) ;
3. les deux à la fois.

La loi de Faraday

Dans un circuit fermé $(C)$, la variation de flux crée une force électromotrice (f.é.m.) $\varepsilon$ — homogène à une tension, en volts :

Plus le flux varie vite, plus la f.é.m. est grande. Un flux constant, même énorme, ne produit rien : c’est la variation qui compte.

La loi de Lenz : le sens du « − »

Le signe moins a un sens physique profond : le courant induit s’oppose, par ses effets, à la cause qui lui a donné naissance. Si le flux augmente, le courant induit crée un champ qui le freine ; si on approche un aimant d’une spire, elle le repousse.

C’est une nécessité énergétique : si l’induit renforçait sa cause, on aurait une boucle d’emballement gratuite — de l’énergie sortie de nulle part. La loi de Lenz, c’est la conservation de l’énergie qui parle. (Application concrète : le freinage par induction des poids lourds et des trains, sans aucun frottement.)

De Faraday à Maxwell-Faraday : la version « champ »

D’où vient cette f.é.m. dans un circuit immobile plongé dans un $\vec B(t)$ ? Aucune force magnétique ne pousse des charges au repos… La seule explication : un champ magnétique variable crée un champ électrique $\vec{E}_i$, dit champ induit, qui met les charges en mouvement. La f.é.m. est sa circulation le long du circuit :

(le circuit étant fixe, la dérivée passe sous l’intégrale). Appliquons le théorème de Stokes au membre de gauche :

Vraie pour toute surface : on identifie les intégrandes, et on obtient l’équation de Maxwell-Faraday :

(Si un champ électrostatique $\vec E_{st}$ coexiste, il ne change rien : $\vec\nabla\wedge\vec E_{st} = \vec 0$, l’équation vaut pour le champ total.)

La conséquence conceptuelle : adieu potentiel unique

En statique, on avait $\vec{\nabla}\wedge\vec{E} = \vec{0}$, donc $\vec E = -\vec\nabla V$ et $\oint\vec{E}\cdot d\vec{l} = 0$. Ce n’est plus vrai : en régime variable, la circulation de $\vec E$ sur une boucle fermée est non nulle (c’est justement la f.é.m. !). Le champ induit est à circulation non conservative : il ne dérive pas d’un potentiel scalaire.

C’est le premier grand pont entre électricité et magnétisme : $\vec B$ variable ⟹ $\vec E$. La leçon suivante construit le pont retour.

Vérifie ta compréhension

À retenir : $\varepsilon = -d\Phi_m/dt$ (Faraday), le signe − = opposition à la cause (Lenz), version locale $\vec{\nabla}\wedge\vec{E} = -\partial\vec{B}/\partial t$ (Maxwell-Faraday). Un $\vec B$ variable engendre un $\vec E$ — qui ne dérive plus d’un potentiel.

Envie de calculer la f.é.m. d’un alternateur simple ? Demande l’exercice à ton agent-professeur.