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Le courant de déplacement : le paradoxe du condensateur

≈ 25 minutes · Prérequis : L'induction : quand le magnétisme fabrique de l'électricité

Le gain du jour : comprendre pourquoi le théorème d’Ampère se contredit lui-même face à un condensateur, et comment le terme ajouté par Maxwell — le courant de déplacement — répare tout et complète le pont entre E⃗\vec E et B⃗\vec B.

Pourquoi cette notion ?

La leçon précédente a montré : B⃗\vec B variable → E⃗\vec E. Question naturelle : l’inverse est-il vrai ? La réponse sort d’un paradoxe très concret, découvert en poussant le théorème d’Ampère dans ses retranchements. Sa résolution par Maxwell (1865) est le geste qui a rendu les ondes électromagnétiques possibles — donc la radio, le Wi-Fi et la lumière comprise comme onde.

Le montage qui casse le théorème d’Ampère

Un circuit alimente un condensateur en tension variable : un courant I(t)I(t) circule dans les fils, alors que rien ne traverse l’espace entre les armatures. Appliquons le théorème d’Ampère sur un cercle (Γ)(\Gamma) entourant le fil… en se rappelant que le « courant enlacé » est celui qui traverse une surface s’appuyant sur (Γ)(\Gamma) — n’importe laquelle :

Deux surfaces également légitimes, deux résultats contradictoires. Le théorème d’Ampère, tel quel, est faux en régime variable.

I(t)E(t) entre les armaturescontour (Γ)surface S′ : passe entre les armatures, I = 0…disque S : I la traverse
Même contour, deux surfaces : l’une est traversée par I, l’autre par… rien. Sauf par un champ E variable.

La réparation de Maxwell : le courant de déplacement

Que se passe-t-il entre les armatures pendant la charge ? Pas de charges en mouvement, mais un champ électrique qui varie. Chiffrons-le : entre les armatures E=σ/ε0E = \sigma/\varepsilon_0, et la charge d’une armature vaut q=σSarmq = \sigma S_{\text{arm}}. Le courant du fil est donc

I=dqdt=Sarmd(ε0E)dtI = \frac{dq}{dt} = S_{\text{arm}}\frac{d(\varepsilon_0 E)}{dt}

Le terme ε0 ∂E/∂t\varepsilon_0\,\partial E/\partial t a la dimension d’une densité de courant (A/m²), sans qu’aucune charge ne bouge. Maxwell le baptise courant de déplacement :

J⃗D=ε0∂E⃗∂t  =  ∂D⃗∂t\vec{J}_D = \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \;=\; \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}

Il prolonge exactement le courant de conduction là où celui-ci s’interrompt : dans le condensateur, JD×Sarm=IJ_D \times S_{\text{arm}} = I. Le courant total J⃗tot=J⃗cond+J⃗D\vec{J}_{\text{tot}} = \vec{J}_{\text{cond}} + \vec{J}_D traverse SS et S′S' de la même façon : le paradoxe disparaît.

L’équation de Maxwell-Ampère

Le théorème d’Ampère généralisé au courant total donne :

 ∇⃗∧B⃗=μ0J⃗cond+μ0ε0∂E⃗∂t \boxed{\ \vec{\nabla}\wedge\vec{B} = \mu_0\vec{J}_{\text{cond}} + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\ }

Lis le deuxième terme : un champ électrique variable crée un champ magnétique, même sans aucun courant. C’est le symétrique de Maxwell-Faraday. Les deux ponts sont construits :

B⃗ varie  →M-Faraday  E⃗E⃗ varie  →M-Ampeˋre  B⃗\vec B \text{ varie} \;\xrightarrow{\text{M-Faraday}}\; \vec E \qquad\qquad \vec E \text{ varie} \;\xrightarrow{\text{M-Ampère}}\; \vec B

Un champ peut engendrer l’autre, qui regénère le premier… de proche en proche : c’est le mécanisme de la propagation des ondes électromagnétiques (chapitre suivant).

L’équation de continuité : la charge se conserve

Dernier morceau du puzzle du régime variable. La charge qq d’un volume (τ)(\tau) fermé par (S)(S) ne peut varier que par le courant qui sort : dqdt=−∯(S)J⃗⋅dS⃗\dfrac{dq}{dt} = -\oiint_{(S)}\vec{J}\cdot d\vec{S}. En passant par Ostrogradski, valable pour tout volume :

 ∂ρ∂t+∇⃗⋅J⃗=0 \boxed{\ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{\nabla}\cdot\vec{J} = 0\ }

C’est l’équation de continuité : la charge électrique ne se crée ni ne se détruit, elle se déplace. (Au passage : en régime variable, ∇⃗⋅J⃗≠0\vec{\nabla}\cdot\vec{J} \neq 0 — le vecteur densité de courant n’est plus à flux conservatif ; c’est précisément ce défaut que le courant de déplacement vient compenser dans Maxwell-Ampère.)

Bilan : statique → variable

Régime statiqueRégime variable
∇⃗∧E⃗\vec{\nabla}\wedge\vec{E}0⃗\vec{0}−∂B⃗∂t-\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}
∇⃗∧B⃗\vec{\nabla}\wedge\vec{B}μ0J⃗cond\mu_0\vec{J}_{\text{cond}}μ0J⃗cond+μ0ε0∂E⃗∂t\mu_0\vec{J}_{\text{cond}} + \mu_0\varepsilon_0\dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}
∇⃗⋅E⃗\vec{\nabla}\cdot\vec{E}ρ/ε0\rho/\varepsilon_0ρ/ε0\rho/\varepsilon_0 (inchangée)
∇⃗⋅B⃗\vec{\nabla}\cdot\vec{B}0000 (inchangée)

Ces quatre lignes de la colonne de droite… ce sont les équations de Maxwell. Tu les as maintenant toutes rencontrées.

Vérifie ta compréhension

Entre les armatures d'un condensateur en charge, le « courant de déplacement » correspond à…

Pourquoi fallait-il corriger le théorème d'Ampère ?

L'équation de continuité ∂ρ/∂t + ∇·J = 0 exprime…

Grâce au terme de Maxwell, un champ électrique variable…

À retenir : J⃗D=ε0 ∂E⃗/∂t\vec{J}_D = \varepsilon_0\,\partial\vec{E}/\partial t répare Ampère → ∇⃗∧B⃗=μ0J⃗+μ0ε0 ∂E⃗/∂t\vec{\nabla}\wedge\vec{B} = \mu_0\vec{J} + \mu_0\varepsilon_0\,\partial\vec{E}/\partial t. Continuité : ∂ρ/∂t+∇⃗⋅J⃗=0\partial\rho/\partial t + \vec\nabla\cdot\vec J = 0. E⃗\vec E et B⃗\vec B s’engendrent mutuellement : les équations de Maxwell sont complètes, les ondes peuvent exister.

Prochaine étape : les équations de Maxwell réunies et l’onde électromagnétique. Dis-le à ton agent-professeur quand tu es prêt.