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Les équations de Maxwell : quatre lignes pour tout l'électromagnétisme

≈ 25 minutes · Prérequis : Le courant de déplacement : le paradoxe du condensateur

Le gain du jour : rassembler tout ce qu’on a construit en un système de quatre équations — les postulats de l’électromagnétisme — savoir les lire physiquement, et découvrir la machinerie des potentiels qui sert à les résoudre.

Pourquoi cette notion ?

Depuis le début du cours, on a récolté des lois une par une : Gauss, Faraday, Ampère corrigé… Maxwell (1865) a compris qu’elles forment un système complet : quatre équations locales qui gouvernent tous les phénomènes électriques, magnétiques et lumineux, du frottement d’une règle en plastique au Wi-Fi. Ce sont les postulats de base de l’électromagnétisme — l’équivalent des lois de Newton pour la mécanique.

Les quatre équations (dans le vide, avec sources ρ\rho et J⃗\vec{J})

NomÉquationLecture physique
Maxwell-Gauss∇⃗⋅E⃗=ρε0\vec{\nabla}\cdot\vec{E} = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0}les charges sont les sources de E⃗\vec E
Maxwell-Thomson (flux)∇⃗⋅B⃗=0\vec{\nabla}\cdot\vec{B} = 0pas de charge magnétique : les lignes de B⃗\vec B se referment
Maxwell-Faraday∇⃗∧E⃗=−∂B⃗∂t\vec{\nabla}\wedge\vec{E} = -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}un B⃗\vec B variable engendre un E⃗\vec E
Maxwell-Ampère∇⃗∧B⃗=μ0J⃗+μ0ε0∂E⃗∂t\vec{\nabla}\wedge\vec{B} = \mu_0\vec{J} + \mu_0\varepsilon_0\dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}courants et E⃗\vec E variable engendrent B⃗\vec B

Grandeurs en jeu : E⃗\vec E (V/m), B⃗\vec B (T), ρ\rho (C/m³), J⃗\vec J (A/m²), et les deux constantes ε0\varepsilon_0, μ0\mu_0.

Trois remarques qui donnent le recul

  1. Le couplage : les deux rotationnels croisent E⃗\vec E et B⃗\vec B. Un champ variable engendre l’autre — c’est ce couplage qui rendra les ondes possibles (leçon suivante).
  2. L’asymétrie : ρ\rho et J⃗\vec J figurent dans les équations de E⃗\vec E… mais aucune « charge magnétique » n’existe dans celles de B⃗\vec B. Le monopôle magnétique n’a jamais été observé.
  3. La cohérence : prends la divergence de Maxwell-Ampère : tu retrouves exactement l’équation de continuité ∂ρ/∂t+∇⃗⋅J⃗=0\partial\rho/\partial t + \vec\nabla\cdot\vec J = 0. Le terme de Maxwell n’était pas décoratif — sans lui, le système se contredit.

Comment résout-on ce système ? Deux stratégies

Méthode 1 — passer par les potentiels (V,A⃗)(V, \vec{A}) puis en déduire les champs. Méthode 2 — former les équations de propagation de E⃗\vec E et B⃗\vec B et les résoudre directement (leçon suivante).

La méthode des potentiels

Les deux équations sans sources (∇⃗⋅B⃗=0\vec{\nabla}\cdot\vec{B} = 0 et Maxwell-Faraday) ne parlent que de structure. On les résout une fois pour toutes (leçon 3 : les deux identités) :

∇⃗⋅B⃗=0  ⟹  B⃗=rot→ A⃗\vec{\nabla}\cdot\vec{B} = 0 \;\Longrightarrow\; \vec{B} = \overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{A}

En injectant dans Maxwell-Faraday : ∇⃗∧(E⃗+∂A⃗/∂t)=0⃗\vec{\nabla}\wedge\bigl(\vec{E} + \partial\vec{A}/\partial t\bigr) = \vec{0}, donc ce champ dérive d’un potentiel scalaire :

 E⃗=−∇⃗V−∂A⃗∂t  B⃗=∇⃗∧A⃗ \boxed{\ \vec{E} = -\vec{\nabla}V - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}\ } \qquad\qquad \boxed{\ \vec{B} = \vec{\nabla}\wedge\vec{A}\ }

Ce sont les relations champ-potentiels. Note la nouveauté par rapport à l’électrostatique : E⃗\vec E a maintenant deux contributions — la pente de VV et la variation temporelle de A⃗\vec A (le champ induit de la leçon 9).

La liberté de jauge

Surprise : le couple (V,A⃗)(V, \vec{A}) n’est pas unique. Pour n’importe quelle fonction scalaire ψ\psi :

A⃗ ′=A⃗+∇⃗ψV′=V−∂ψ∂t\vec{A}\,' = \vec{A} + \vec{\nabla}\psi \qquad V' = V - \frac{\partial \psi}{\partial t}

décrit exactement le même champ (E⃗,B⃗)(\vec E, \vec B) — vérifie : le rotationnel tue ∇⃗ψ\vec\nabla\psi, et les deux corrections de E⃗\vec E se compensent. C’est la transformation de jauge. Choisir un couple, c’est « fixer une jauge » : une pure convention de calcul, sans effet physique. (Cette idée anodine deviendra un pilier de la physique des particules.)

La jauge de Lorentz et les potentiels retardés

En injectant les relations champ-potentiels dans les deux équations avec sources, on obtient deux équations couplées pour VV et A⃗\vec A. On exploite alors la liberté de jauge pour choisir la jauge de Lorentz :

∇⃗⋅A⃗+μ0ε0∂V∂t=0\vec{\nabla}\cdot\vec{A} + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial V}{\partial t} = 0

et le miracle opère : les équations se découplent en deux équations d’onde jumelles,

∇2V−μ0ε0∂2V∂t2=−ρε0∇2A⃗−μ0ε0∂2A⃗∂t2=−μ0J⃗\nabla^2 V - \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2 V}{\partial t^2} = -\frac{\rho}{\varepsilon_0} \qquad\qquad \nabla^2 \vec{A} - \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial t^2} = -\mu_0\vec{J}

Leurs solutions, les potentiels retardés, ont une interprétation physique magnifique : le potentiel en MM à l’instant tt dépend des sources telles qu’elles étaient à l’instant t−r/ct - r/c :

V(M,t)=14πε0∭(V0)ρ(P, t−rc)r dτV(M, t) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\iiint_{(V_0)} \frac{\rho\bigl(P,\ t - \frac{r}{c}\bigr)}{r}\, d\tau

L’influence électromagnétique n’est pas instantanée : elle voyage à la vitesse cc. Si le Soleil s’éteignait maintenant, ses champs mettraient 8 minutes à nous l’apprendre.

Vérifie ta compréhension

Laquelle de ces équations interdit l'existence d'une « charge magnétique » isolée ?

En régime variable, le champ électrique s'écrit E = …

Changer de jauge (A → A + ∇ψ, V → V − ∂ψ/∂t) modifie…

Les potentiels retardés expriment que…

À retenir : quatre équations — deux divergences (sources), deux rotationnels (couplage E⃗↔B⃗\vec E \leftrightarrow \vec B). Potentiels : B⃗=∇⃗∧A⃗\vec B = \vec\nabla\wedge\vec A, E⃗=−∇⃗V−∂A⃗/∂t\vec E = -\vec\nabla V - \partial\vec A/\partial t, définis à une jauge près ; en jauge de Lorentz, ils obéissent à des équations d’onde dont les solutions sont retardées de r/cr/c.

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