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L'équation d'onde : la lumière sort des équations

≈ 25 minutes · Prérequis : Les équations de Maxwell : quatre lignes pour tout l'électromagnétisme

Le gain du jour : refaire le calcul le plus célèbre de la physique du 19ᵉ siècle — combiner les équations de Maxwell pour voir apparaître une équation d’onde dont la vitesse est… celle de la lumière.

Pourquoi cette notion ?

On a vu le mécanisme : $\vec B$ variable → $\vec E$ , et $\vec E$ variable → $\vec B$ . Chaque champ regénère l’autre, de proche en proche. Question : à quelle vitesse cette « vague » électromagnétique se déplace-t-elle ? La réponse est sortie des équations avant toute mesure — et elle a réuni l’optique et l’électricité en une seule science.

La dérivation (à savoir refaire)

Plaçons-nous dans le vide sans sources ( $\rho = 0$ , $\vec{J} = \vec{0}$ ). Les équations deviennent :

\vec{\nabla}\cdot\vec{E} = 0, \quad \vec{\nabla}\cdot\vec{B} = 0, \quad \vec{\nabla}\wedge\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}, \quad \vec{\nabla}\wedge\vec{B} = \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

Prenons le rotationnel de Maxwell-Faraday, avec l’identité $\vec{\nabla}\wedge(\vec{\nabla}\wedge\vec{E}) = \vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot\vec{E}) - \nabla^2\vec{E}$ :

\underbrace{\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot\vec{E})}_{=\ \vec 0 \text{ (Gauss, vide)}} - \nabla^2\vec{E} = -\frac{\partial}{\partial t}\underbrace{(\vec{\nabla}\wedge\vec{B})}_{=\ \mu_0\varepsilon_0 \partial\vec{E}/\partial t}

\boxed{\ \nabla^2\vec{E} - \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}\ } \qquad\text{et de même}\qquad \nabla^2\vec{B} - \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} = \vec{0}

C’est l’équation de d’Alembert — l’équation universelle des ondes (cordes vibrantes, son…), dont la vitesse de propagation $v$ vérifie $1/v^2 = \mu_0\varepsilon_0$ :

c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\,\varepsilon_0}} = \frac{1}{\sqrt{4\pi\times10^{-7} \times 8{,}85\times10^{-12}}} \approx 3\times10^{8} \text{ m/s}

Deux constantes mesurées sur des condensateurs et des bobines, et il en sort la vitesse de la lumière mesurée par les astronomes. Conclusion de Maxwell : la lumière est une onde électromagnétique. (Avec sources, les mêmes calculs donnent les seconds membres en $\rho$ et $\vec J$ : ce sont les antennes qui rayonnent.)

À quoi ressemblent les solutions ?

Pour une propagation selon $z$ , chaque composante $\psi$ des champs vérifie $\partial^2\psi/\partial z^2 - \frac{1}{c^2}\,\partial^2\psi/\partial t^2 = 0$ , dont la solution générale est :

\psi(z, t) = f\Bigl(t - \frac{z}{c}\Bigr) + g\Bigl(t + \frac{z}{c}\Bigr)

$f(t - z/c)$ : une forme qui se déplace vers les $z$ croissants sans se déformer — l’onde progressive ;
$g(t + z/c)$ : la même chose vers les $z$ décroissants — l’onde régressive.

Une onde électromagnétique progressive transporte de l’énergie et de la quantité de mouvement d’un point à un autre… sans transporter de matière.

L’onde plane progressive monochromatique (OPPM)

Le cas d’école, brique de base de toutes les autres ondes (par superposition) :

\vec{E}(\vec{r}, t) = \vec{E}_0 \cos(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r}) \qquad\text{ou, en notation complexe,}\qquad \vec{E} = \vec{E}_0\, e^{\,i(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r})}

$\vec{k}$ : le vecteur d’onde — il pointe dans la direction de propagation ;
$\omega$ : la pulsation ;
« plane » : à un instant donné, le champ est identique sur tout plan perpendiculaire à $\vec k$ (même état vibratoire) ; « monochromatique » : une seule fréquence.

La notation complexe est un turbo de calcul : dériver devient multiplier,

\vec{\nabla} \to -i\vec{k} \qquad\qquad \frac{\partial}{\partial t} \to i\omega

La relation de dispersion

Injecte l’OPPM dans l’équation d’onde : $-k^2 + \omega^2/c^2 = 0$ , d’où

\boxed{\ k = \frac{\omega}{c}\ } \qquad \text{(relation de dispersion du vide)}

La double périodicité

L’OPPM est périodique en temps et en espace :

T = \frac{2\pi}{\omega} \ \text{(période, s)} \qquad\qquad \lambda = cT = \frac{2\pi}{k} \ \text{(longueur d'onde, m)}

Photographie d’une OPPM à un instant donné : le motif se répète tous les λ, et défile à la vitesse c.

Exemples d’utilisation — le spectre électromagnétique : la même physique, seul $\lambda$ change.

Domaine	Longueur d’onde	Usage
Ondes radio	km → m	radio, TV
Micro-ondes	cm	Wi-Fi (12 cm), four (12,2 cm), radar
Infrarouge	µm	télécommandes, thermographie
Visible	0,4 – 0,8 µm	l’œil humain
UV, X, γ	< 400 nm	bronzage, radiographie, médecine nucléaire

Vérifie ta compréhension

D'où sort la valeur de c dans le calcul de Maxwell ?

Une solution f(t − z/c) représente…

Pour une OPPM dans le vide, la relation de dispersion s'écrit…

Le Wi-Fi (λ ≈ 12 cm) et la lumière visible (λ ≈ 0,5 µm) sont…

À retenir : dans le vide, $\nabla^2\vec{E} = \mu_0\varepsilon_0\,\partial_t^2\vec{E}$ → ondes à $c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$ . Solutions $f(t \mp z/c)$ ; brique de base = OPPM $\vec E_0\cos(\omega t - \vec k\cdot\vec r)$ avec $k = \omega/c$ , $T = 2\pi/\omega$ , $\lambda = cT$ . La lumière est une onde électromagnétique.

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