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Structure de l'onde plane : transversalité et polarisation

≈ 30 minutes · Prérequis : L'équation d'onde : la lumière sort des équations

Le gain du jour : découvrir la géométrie très contrainte de l’onde électromagnétique — le trièdre $(\vec k, \vec E, \vec B)$ — puis la notion de polarisation, celle qui fait marcher les lunettes de soleil polarisantes et les écrans LCD.

Pourquoi cette notion ?

L’équation d’onde dit qu’il y a des ondes, pas à quoi elles ressemblent. Or les équations de Maxwell imposent à l’OPPM une architecture rigide : les directions de $\vec E$ , $\vec B$ et de la propagation ne sont pas libres. Cette géométrie a des conséquences très concrètes — orientation des antennes, filtres polarisants, 3D au cinéma.

Les champs sont transverses

Prenons une OPPM $\vec{E} = \vec{E}_0\,e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r})}$ et injectons-la dans les équations de Maxwell du vide, avec le dictionnaire complexe ( $\vec\nabla \to -i\vec k$ , $\partial_t \to i\omega$ ) :

Maxwell-Gauss ( $\rho = 0$ ) : $\vec{\nabla}\cdot\vec{E} = -i\,\vec{k}\cdot\vec{E} = 0$ , donc

\vec{k} \perp \vec{E}

Le champ électrique vibre perpendiculairement à la direction de propagation : l’onde est transversale. (Contraste avec le son, onde longitudinale : l’air vibre le long de la propagation.)

Maxwell-Faraday : $-i\vec{k}\wedge\vec{E} = -i\omega\vec{B}$ , d’où

\boxed{\ \vec{B} = \frac{\vec{k}\wedge\vec{E}}{\omega}\ }

Tout est dedans :

$\vec{B} \perp \vec{k}$ et $\vec{B} \perp \vec{E}$ : $\vec B$ aussi est transverse ;
$(\vec{k}, \vec{E}, \vec{B})$ forme un trièdre direct (règle de la main droite) ;
en module : $B = \dfrac{k}{\omega}E = \dfrac{E}{c}$ — dans une onde lumineuse, la composante magnétique est $3\times10^8$ fois plus « petite » en unités SI.

Le plan contenant $\vec E$ et $\vec k$ est le plan de propagation ; celui contenant $\vec B$ , le plan de vibration.

L’architecture imposée par Maxwell : deux champs perpendiculaires entre eux et à la propagation.

Vitesse de phase, vitesse de groupe

La vitesse de phase est celle d’une crête de l’onde monochromatique : en suivant $\phi = \omega t - kz = \text{cste}$ ,

V_\phi = \frac{\omega}{k}

Si $V_\phi$ dépend de $\omega$ , le milieu est dispersif (dans le vide, $V_\phi = c$ pour tout $\omega$ : non dispersif). Or un vrai signal n’est jamais une sinusoïde pure : c’est un paquet de fréquences. Superpose deux ondes voisines ( $\omega_1, k_1$ ) et ( $\omega_2, k_2$ ) : on obtient une porteuse rapide modulée par une enveloppe lente, et l’enveloppe — celle qui transporte l’information et l’énergie — avance à la vitesse de groupe :

V_g = \frac{d\omega}{dk}

Dans un milieu non dispersif, $V_g = V_\phi$ : le paquet garde sa forme. Dans un milieu dispersif, chaque couleur va à sa vitesse : c’est le prisme qui étale la lumière blanche, et l’étalement des impulsions dans les fibres optiques qui limite le débit.

La polarisation : comment $\vec{E}$ danse dans le plan transverse

$\vec E$ est confiné au plan perpendiculaire à $\vec k$ … mais dans ce plan, il peut bouger. La polarisation décrit la trajectoire de l’extrémité de $\vec E$ . Cas général (propagation selon $z$ ) :

E_x(t) = E_{0x}\cos(\omega t - kz - \phi_1) \qquad E_y(t) = E_{0y}\cos(\omega t - kz - \phi_2)

Tout se joue sur le déphasage $\phi = \phi_2 - \phi_1$ :

Déphasage $\phi$	Trajectoire de $\vec E$	Polarisation
$0$ ou $\pi$	un segment de droite fixe	rectiligne
$\pm\pi/2$ et $E_{0x} = E_{0y}$	un cercle	circulaire
quelconque	une ellipse	elliptique

Le sens de parcours donne l’hélicité : $0 < \phi < \pi$ → sens trigonométrique, onde polarisée à gauche (hélicité positive) ; $-\pi < \phi < 0$ → sens rétrograde, polarisée à droite (hélicité négative).

Exemples d’utilisation : un polariseur ne laisse passer que la composante de $\vec E$ le long de son axe — deux polariseurs croisés bloquent tout (principe des écrans LCD : chaque pixel tord ou non la polarisation). Les lunettes polarisantes coupent les reflets (la lumière réfléchie sur l’eau ou la route est partiellement polarisée horizontalement). La 3D au cinéma envoie une image en polarisation circulaire gauche, l’autre à droite. Et une antenne doit être orientée comme le $\vec E$ qu’elle veut capter.

Vérifie ta compréhension

Dans une OPPM dans le vide, le champ électrique vibre…

Le rapport des modules E/B dans une onde plane du vide vaut…

L'information transportée par un paquet d'ondes voyage à…

Deux polariseurs parfaits croisés à 90° laissent passer…

À retenir : $(\vec k, \vec E, \vec B)$ trièdre direct, $\vec B = (\vec k\wedge\vec E)/\omega$ , $B = E/c$ . $V_\phi = \omega/k$ , $V_g = d\omega/dk$ (égales hors dispersion). Polarisation = trajectoire de $\vec E$ dans le plan transverse : rectiligne, circulaire ou elliptique selon le déphasage entre composantes.