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L'énergie électromagnétique et le vecteur de Poynting

≈ 25 minutes · Prérequis : Structure de l'onde plane : transversalité et polarisation

Le gain du jour : répondre à la question « où est l’énergie, et par où passe-t-elle ? » — densité d’énergie du champ, vecteur de Poynting, et le bilan qui relie les deux. C’est la physique du rayonnement solaire, du micro-ondes et de la borne Wi-Fi.

Pourquoi cette notion ?

Le rayonnement solaire chauffe la Terre, le four à micro-ondes chauffe la soupe, l’antenne relais alimente ton téléphone : les ondes électromagnétiques transportent de l’énergie — sans transporter de matière. Où cette énergie est-elle stockée ? Réponse audacieuse de la théorie : dans le champ lui-même. En tout point où règne un champ $(\vec E, \vec B)$ , il y a une densité d’énergie. Il nous faut la quantifier, et décrire ses flux.

Le bilan d’énergie d’un domaine

Considérons un domaine $D$ limité par une surface $(S)$ , contenant l’énergie électromagnétique $U(t) = \iiint_D u\; d\tau$ , où $u(x,y,z,t)$ est la densité volumique d’énergie (J/m³). Cette énergie peut varier pour deux raisons :

1. Le champ travaille sur les charges. Un élément $d\tau$ de charges (densité $\rho$ , vitesse $\vec v$ ) subit la force de Lorentz $d\vec{f} = \rho\, d\tau\,(\vec{E} + \vec{v}\wedge\vec{B})$ . La partie magnétique, perpendiculaire à $\vec v$ , ne travaille pas ; le travail par unité de temps se réduit à (avec $\vec{J} = \rho\vec{v}$ ) :

P_1 = \iiint_D \vec{J}\cdot\vec{E}\; d\tau

C’est la puissance cédée aux charges — celle qui devient chaleur dans une résistance (effet Joule) ou mouvement dans un moteur.

2. De l’énergie s’échappe à travers la frontière. On décrit ce flux par un vecteur $\vec{P}$ tel que la puissance sortant de $(S)$ soit :

P_2 = \oiint_{(S)} \vec{P}\cdot d\vec{S}

La conservation de l’énergie s’écrit alors $\dfrac{dU}{dt} = -(P_1 + P_2)$ , soit, en passant à la version locale (Ostrogradski, valable pour tout domaine) :

\boxed{\ \frac{\partial u}{\partial t} + \vec{J}\cdot\vec{E} + \vec{\nabla}\cdot\vec{P} = 0\ }

Compare avec l’équation de continuité de la charge : même grammaire. C’est le bilan local de l’énergie électromagnétique.

Identifier $u$ et $\vec{P}$ avec Maxwell

Reste à exprimer $u$ et $\vec P$ en fonction des champs. Partons de l’identité $\mathrm{div}(\vec{E}\wedge\vec{B}) = \vec{B}\cdot\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{E} - \vec{E}\cdot\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{B}$ , et remplaçons les deux rotationnels par Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère. Après calcul :

\frac{\partial}{\partial t}\underbrace{\Bigl[\frac{1}{2}\Bigl(\varepsilon_0 E^2 + \frac{B^2}{\mu_0}\Bigr)\Bigr]}_{u} + \vec{J}\cdot\vec{E} + \vec{\nabla}\cdot\underbrace{\Bigl[\frac{\vec{E}\wedge\vec{B}}{\mu_0}\Bigr]}_{\vec{P}} = 0

Par identification avec le bilan :

\boxed{\ u = \frac{1}{2}\Bigl(\varepsilon_0 E^2 + \frac{B^2}{\mu_0}\Bigr)\ } \qquad\qquad \boxed{\ \vec{P} = \frac{\vec{E}\wedge\vec{B}}{\mu_0}\ }

$u$ : la densité d’énergie — une part électrique, une part magnétique ;
$\vec{P}$ : le vecteur de Poynting (W/m²). Sa direction = le sens du transport d’énergie ; son module = la puissance qui traverse 1 m² perpendiculaire.

Pour une OPPM, $\vec E \perp \vec B$ et $B = E/c$ : le vecteur de Poynting pointe selon $\vec k$ — l’énergie voyage avec l’onde, comme attendu — et les parts électrique et magnétique de $u$ sont égales.

Ordres de grandeur : l’éclairement

Pour une OPPM $E = E_0\cos(\omega t - kx)$ , la moyenne temporelle de $\cos^2$ vaut $1/2$ :

\langle P \rangle = \frac{E_0 B_0}{2\mu_0} = \frac{\varepsilon_0\, c\, E_0^2}{2}

Situation	$\langle P\rangle$	$E_0$ correspondant
Rayonnement solaire (haut de l’atmosphère)	$\approx 1{,}4$ kW/m²	$\approx 1000$ V/m
Borne Wi-Fi à 1 m	$\sim$ mW/m²	$\sim 1$ V/m
Faisceau laser de découpe focalisé	$\sim 10^{10}$ W/m² et plus	$\sim 10^6$ V/m

C’est cette puissance surfacique que mesurent les panneaux solaires ( $\sim 20$ % convertis en électricité) et que règlemente l’exposition aux antennes.

Vérifie ta compréhension

Dans le bilan local ∂u/∂t + J·E + div P = 0, le terme J·E représente…

Le vecteur de Poynting d'une onde plane pointe…

Pourquoi la force magnétique n'apparaît-elle pas dans le bilan d'énergie ?

Le module du vecteur de Poynting se mesure en…

À retenir : $u = \frac{1}{2}(\varepsilon_0 E^2 + B^2/\mu_0)$ , $\vec{P} = \vec{E}\wedge\vec{B}/\mu_0$ , bilan $\partial_t u + \vec J\cdot\vec E + \vec\nabla\cdot\vec P = 0$ . L’énergie habite le champ et circule le long de $\vec k$ ; en moyenne $\langle P\rangle = \varepsilon_0 c E_0^2/2$ .